Mostrando dos normas en $\mathbb{R}^n$ son de doble

Question

Estoy teniendo problemas con el que muestra el siguiente resultado.

Si $A$ es una matriz positiva definida, entonces las normas (en $\mathbb{R}^n$) $\|x\|_A:= \sqrt{x^\top A x}$ y $\|y\|_{A^{-1}}:= \sqrt{y^\top A^{-1} y}$ son de doble.

[Aquí, el doble $\|\cdot\|^*$ de una norma $\|\cdot \|$ $\mathbb{R}^n$ se define a ser $\|y\|^* := \sup_{x \in \mathbb{R}^n} \frac{y^\top x}{\|x\|}$.]

Para $A$ siendo la matriz de identidad, el resultado se sigue de la de Cauchy-Schwarz desigualdad: $y^\top x \le \|y\| \|x\|$ con la igualdad se cumple cuando $x=y$, por lo que $$\|y\|^* = \sup_{x \in \mathbb{R}^n} \frac{y^\top x}{\|x\|} = \|y\|.$$

Sin embargo estoy teniendo problemas con el general $A$. He intentado utilizar de Cauchy-Schwarz en el interior del producto $\langle x,y \rangle = x^\top A y$, pero se quedó atascado. Todas las sugerencias se agradece!

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Así que tengo algunos avances: ir hacia atrás desde la declaró resultado, he demostrado que $$\frac{y^\top y}{\|y\|_A} = \frac{y^\top y}{\sqrt{y^\top A y}} = \sqrt{y^\top A^{-1} y} = \|y\|_{A^{-1}}$$ (He omitido en mi trabajo), por lo que, asumiendo $\|\cdot\|_{A^{-1}}$ es de hecho el doble de $\|\cdot\|_A$, $x$ que maximiza $\sup_{x \in \mathbb{R}^n} \frac{y^\top x}{\|x\|_A}$$x=y$.

Sin embargo, todavía estoy atascado en mostrar que $x=y$ de hecho maximiza $\frac{y^\top x}{\|x\|_A}$. Cauchy-Swcharz (por la costumbre norma Euclídea) da $\frac{y^\top x}{\|x\|_A} \le \frac{\|y\|_2 \|x\|_2}{\|x\|_A}$ con igualdad si y sólo si $x$ $y$ diferir por un escalar, pero el $\|x\|_A$ va a desordenar las cosas.

Answer 1

A partir de Max sugerencias, tenemos los siguientes. La nota positiva la certeza de $A$ implica que el $A^{1/2}$ $A^{-1/2}$ existen y son tanto positiva definida.

\begin{align*} \|y\|_A^* &= \sup_x \frac{x^\top y}{\sqrt{x^\top A x}} \\ &= \sup_x \frac{(A^{-1/2} x)^\top y}{\sqrt{x^\top A^{-1/2} A A^{-1/2} x}} & \text{%#%#% is symmetric and invertible} \\ &= \sup_x \frac{(A^{-1/2} x)^\top y}{\|x\|_2} \\ &= \sup_x \frac{x^\top (A^{-1/2} y)}{\|x\|_2} \\ &= \frac{\|A^{-1/2} y\|_2^2}{\|A^{-1/2}y\|_2} & \text{Cauchy-Schwarz, %#%#%} \\ &= \|A^{-1/2} y\|_2 \\ &= \|y\|_{A^{-1}}. \end{align*}

Answer 2

$$ \left\|x\right\|_A^{*}= \displaystyle\sup_{_{\left\|y\right\|_\leq 1}}y^{\asesino}x =\sup_{_{\left\|A^{-1}y\right\|_\leq 1}}\left(A^{-1}y\right)^{\asesino}x =\sup_{_{\left\|y\right\|_{id}\leq 1}}\left(A^{-1}y\right)^{\asesino}x =\sup_{_{\left\|y\right\|_{id}\leq 1}}y^{\asesino}\left(A^{-1}x\right) =\left\|x\right\|_{A^{-1}} $$

He utilizado el surjectivity de $A^{-1}$, el resto es el sarro. $id$ es la matriz identidad.

edit: el uso de la raíz de $A$ en lugar de $A$ bajo el supremum. (ver comentarios)