Ramanujan encontró la siguiente identidad trigonométrica \begin {Ecuación} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {2 \pi }7 \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {4 \pi }7 \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {8 \pi }7 \bigr )}= \sqrt [3]{ \tfrac {5-3 \sqrt [3]7}2} \end {ecuación} (véase por ejemplo Ramanujan - Para los más inexpertos (3.7) y alrededores, para los detalles y un análogo para 9 en lugar de 7).
¿Existen identidades análogas para todos los primos pp de la forma 3k+13k+1 en lugar de 7?
Permítanme que intente explicar lo que quiero decir. Como he aprendido de S. Markelov, para p=13p=13 \begin {multline} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {2 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {10 \pi }{13} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {4 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {6 \pi }{13} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {8 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {12 \pi }{13} \bigr )}= \\ \sqrt [3]{ \tfrac {3 \sqrt [3]{13}-7}2} \end {multline} y hay análogos cercanos para todos pp de la forma n2+n+1n2+n+1 . Por ejemplo, para p=43=62+6+1p=43=62+6+1 tres grupos de numeradores son {2, 4, 8, 16, 22, 32, 42}, {6, 10, 12, 20, 24, 38, 40}, {14, 18, 26, 28, 30, 34, 36} y la suma es 3√33√86−1323√33√86−132 .
Así que parece que hay algún patrón que recuerda... sumas cuadráticas de Gauss tal vez.
Para cualquier p=3k+1p=3k+1 se puede dividir F×p en tres grupos, correspondientes a F×p/F×3p≅Z/3 - y esto es precisamente las particiones del último párrafo. Esto explica cómo debería ser el LHS. Y efectivamente, al menos para p=19 hay una identidad \begin {multline} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac { \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {7 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {11 \pi }{19} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {3 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {5 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {17 \pi }{19} \bigr )}+ \\ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {9 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {13 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {15 \pi }{19} \bigr )}= \\ \sqrt [3]{ \tfrac12 -3 \sqrt [3]7+ \tfrac32\sqrt [3]{3 \sqrt [3]{49}+18 \sqrt [3]7-25}+ \tfrac32\sqrt [3]{3 \sqrt [3]{49}+18 \sqrt [3]7-44}} \end {multline} que está estrechamente relacionado con el hecho de que 2(cos4π19+cos6π19+cos10π19) es una raíz de la ecuación √4+√4+√4−x=x .
Así que,
más precisamente: ¿es cierto que para cualquier p=3k+1 ¿la suma de 3 raíces cúbicas de la suma de cosenos (descrita anteriormente) se puede expresar en radicales reales?
¿qué se puede decir de la RHS en este caso (por ejemplo, sobre el número de radicales anidados)?