30 votos

Identidades trigonométricas de tipo Ramanujan con raíces cúbicas, generalizando 3cos(2π/7)+3cos(4π/7)+3cos(8π/7)3cos(2π/7)+3cos(4π/7)+3cos(8π/7)

Ramanujan encontró la siguiente identidad trigonométrica \begin {Ecuación} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {2 \pi }7 \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {4 \pi }7 \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {8 \pi }7 \bigr )}= \sqrt [3]{ \tfrac {5-3 \sqrt [3]7}2} \end {ecuación} (véase por ejemplo Ramanujan - Para los más inexpertos (3.7) y alrededores, para los detalles y un análogo para 9 en lugar de 7).

¿Existen identidades análogas para todos los primos pp de la forma 3k+13k+1 en lugar de 7?

Permítanme que intente explicar lo que quiero decir. Como he aprendido de S. Markelov, para p=13p=13 \begin {multline} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {2 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {10 \pi }{13} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {4 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {6 \pi }{13} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {8 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {12 \pi }{13} \bigr )}= \\ \sqrt [3]{ \tfrac {3 \sqrt [3]{13}-7}2} \end {multline} y hay análogos cercanos para todos pp de la forma n2+n+1n2+n+1 . Por ejemplo, para p=43=62+6+1p=43=62+6+1 tres grupos de numeradores son {2, 4, 8, 16, 22, 32, 42}, {6, 10, 12, 20, 24, 38, 40}, {14, 18, 26, 28, 30, 34, 36} y la suma es 3338613233386132 .

Así que parece que hay algún patrón que recuerda... sumas cuadráticas de Gauss tal vez.


Para cualquier p=3k+1p=3k+1 se puede dividir F×p en tres grupos, correspondientes a F×p/F×3pZ/3 - y esto es precisamente las particiones del último párrafo. Esto explica cómo debería ser el LHS. Y efectivamente, al menos para p=19 hay una identidad \begin {multline} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac { \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {7 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {11 \pi }{19} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {3 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {5 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {17 \pi }{19} \bigr )}+ \\ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {9 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {13 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {15 \pi }{19} \bigr )}= \\ \sqrt [3]{ \tfrac12 -3 \sqrt [3]7+ \tfrac32\sqrt [3]{3 \sqrt [3]{49}+18 \sqrt [3]7-25}+ \tfrac32\sqrt [3]{3 \sqrt [3]{49}+18 \sqrt [3]7-44}} \end {multline} que está estrechamente relacionado con el hecho de que 2(cos4π19+cos6π19+cos10π19) es una raíz de la ecuación 4+4+4x=x .

Así que,

más precisamente: ¿es cierto que para cualquier p=3k+1 ¿la suma de 3 raíces cúbicas de la suma de cosenos (descrita anteriormente) se puede expresar en radicales reales?

¿qué se puede decir de la RHS en este caso (por ejemplo, sobre el número de radicales anidados)?

15voto

Tito Piezas III Puntos 13051

Update:

La pregunta es: ¿Es cierto que para cualquier p=3k+1 ¿la suma de 3 raíces cúbicas de la suma de cosenos se puede expresar en radicales reales?

La respuesta es Sí. En general, dadas las raíces xi de la ecuación cúbica general,

x3+ax2+bx+c=0

entonces las sumas que involucran las raíces cúbicas del xi se puede dar en la forma simple,

(u+x1)1/3+(u+x2)1/3+(u+x3)1/3=(w+3d1/3)1/3

donde u,w son las constantes,

u=ab9c+d2(a23b)

w=(2a39ab+27c)+9d2(a23b)

y d es el negado discriminante D ,

d=D=127(4(a23b)3(2a39ab+27c)2)

  1. Si d es positivo, lo que significa que el discriminante D es negativo, por lo que la cúbica tiene todas las raíces reales, así u,w también son reales .
  2. Además, si el cúbico tiene un grupo cíclico que es el caso cuando se trata de la p raíz de la unidad, entonces d es un cuadrado, así que u,w de hecho son racionales .
  3. El caso a23b=0 implica d=(a327c)2 Así que +D por lo que sólo hay una raíz x1 es real.

Ejemplo. Si utilizamos la cúbica para cos(2π/7) , a saber x3+x22x1=0 , entonces tenemos u=0 o 1 ya que ±d=7 . Así, utilizando el caso negativo y positivo respectivamente, obtenemos,

32cos(2π7)+32cos(4π7)+32cos(8π7)=35337

31+2cos(2π7)+31+2cos(4π7)+31+2cos(8π7)=34+337

y así sucesivamente para otros p=6m+1 , cubriendo mi viejo adenda para p=19 .


Oldanswer:

El fenómeno general puede ser explicado por una hermosa identidad cúbica encontrada por, por supuesto, Ramanujan . {Grigori M, irónicamente, usted señaló esta identidad en un antigua pregunta de la mía. :) }

I. Dadas las tres raíces xi de,

x3ax2+bx1=0

entonces,

x1/31+x1/32+x1/33=(a+6+3t)1/3

donde t es una raíz de,

t33(a+b+3)t(ab+6(a+b)+9)=0

La forma del p=19 sugiere que es sólo un caso particular de esta identidad. Ten en cuenta que,

y=2(cos(π19)+cos(7π19)+cos(11π19))

(y las otras dos expresiones similares) es una raíz de,

y3+y26y7=0

Se puede entonces escalar las variables y hacer que el término constante c=1 . Lo hice, y obtuve el exactamente forma como la anterior.

II. Tenga en cuenta que si a+b+3=0 entonces (3) adopta una forma especialmente sencilla. Después de algunas manipulaciones, he encontrado que dado,

x3+x2(3n2+n)x+n3=0

entonces,

FP=x1/31+x1/32+x1/33=3(6n+1)+33nP

donde P=9n2+3n+1 . Para n=1,1,2,2 obtenemos las mismas cúbicas satisfechas por el sumas de cosenos para P=7,13,31,43, explicando así las simples sumas,

F7=35+337

F13=37+3313

y así sucesivamente, aunque no puedo demostrar que las raíces de (4) son siempre sumas de cosenos cuando P es primo. Tal vez lo haga como una pregunta separada.

14voto

davidoff303 Puntos 31

Se puede escribir de otra forma: 3p43k=0cos(2πpa3k)+3p43k=0cos(2πpa3k+1)+3p43k=0cos(2πpa3k+2)=36m133mp ; p=9m23m+1 ; donde a es un generador de grupo multiplicativo de enteros módulo p . Por ejemplo: 31k=0cos(2π733k)+31k=0cos(2π733k+1)+31k=0cos(2π733k+2)=3533733k=0cos(2π1323k)+33k=0cos(2π1323k+1)+33k=0cos(2π1323k+2)=37+331339k=0cos(2π3133k)+39k=0cos(2π3133k+1)+39k=0cos(2π3133k+2)=31133231313k=0cos(2π4333k)+313k=0cos(2π4333k+1)+313k=0cos(2π4333k+2)=313+33243 323k=0cos(2π7353k)+323k=0cos(2π7353k+1)+323k=0cos(2π7353k+2)=31733373379k=0cos(2π24173k)+379k=0cos(2π24173k+1)+379k=0cos(2π24173k+2)=331+335241 3153k=0cos(2π46333k)+3153k=0cos(2π46333k+1)+3153k=0cos(2π46333k+2)=343+337463

6voto

Jonesinator Puntos 1793

Supongamos que p=3k+1 . Entonces, por un teorema de Gauss 4p=A2+27B2 y sumas cúbicas como tZ/pcos(2πt3p) son raíces de la ecuación x33pxAp=0 . Y si tenemos tres raíces xi de una ecuación cúbica, el lema de Ramanujan da el valor de 3x1+3x2+3x3 . Eso es precisamente lo que está pasando, creo.

5voto

Tito Piezas III Puntos 13051

( Adenda a mi respuesta. ) Acabo de darme cuenta de que un pequeño ajuste a la p=19 identidad citada por el OP,

3cos(π19)+cos(7π19)+cos(11π19)+3cos(3π19)+cos(5π19)+cos(17π19)+3cos(9π19)+cos(13π19)+cos(15π19)=312337+3233349+183725+3233349+183744=0.815731

puede dar una más sencilla, pero diferente,

312+cos(π19)+cos(7π19)+cos(11π19)+312+cos(3π19)+cos(5π19)+cos(17π19)+312+cos(9π19)+cos(13π19)+cos(15π19)=34+32319=0.1375504

Es porque sólo hay un lineal transformación entre el cúbico involucrado en,

a+a+ax=x

y el cúbico para,

y1/31+y1/32+y1/33=3(6n+1)+33nP

con P=9n2+3n+1 y utilizamos n=12 .

Ver estos comentarios .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X