Identidades trigonométricas de tipo Ramanujan con raíces cúbicas, generalizando $\sqrt[3]{\cos(2\pi/7)}+\sqrt[3]{\cos(4\pi/7)}+\sqrt[3]{\cos(8\pi/7)}$

Question

Ramanujan encontró la siguiente identidad trigonométrica \begin {Ecuación} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {2 \pi }7 \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {4 \pi }7 \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {8 \pi }7 \bigr )}= \sqrt [3]{ \tfrac {5-3 \sqrt [3]7}2} \end {ecuación} (véase por ejemplo Ramanujan - Para los más inexpertos (3.7) y alrededores, para los detalles y un análogo para 9 en lugar de 7).

¿Existen identidades análogas para todos los primos $p$ de la forma $3k+1$ en lugar de 7?

Permítanme que intente explicar lo que quiero decir. Como he aprendido de S. Markelov, para $p=13$ \begin {multline} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {2 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {10 \pi }{13} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {4 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {6 \pi }{13} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {8 \pi }{13} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {12 \pi }{13} \bigr )}= \\ \sqrt [3]{ \tfrac {3 \sqrt [3]{13}-7}2} \end {multline} y hay análogos cercanos para todos $p$ de la forma $n^2+n+1$ . Por ejemplo, para $p=43=6^2+6+1$ tres grupos de numeradores son {2, 4, 8, 16, 22, 32, 42}, {6, 10, 12, 20, 24, 38, 40}, {14, 18, 26, 28, 30, 34, 36} y la suma es $\sqrt[3]{\frac{3\sqrt[3]{86}-13}2}$ .

Así que parece que hay algún patrón que recuerda... sumas cuadráticas de Gauss tal vez.

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Para cualquier $p=3k+1$ se puede dividir $\mathbb F_p^\times$ en tres grupos, correspondientes a $\mathbb F_p^\times/\mathbb F_p^{\times3}\cong\mathbb Z/3$ - y esto es precisamente las particiones del último párrafo. Esto explica cómo debería ser el LHS. Y efectivamente, al menos para $p=19$ hay una identidad \begin {multline} \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac { \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {7 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {11 \pi }{19} \bigr )}+ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {3 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {5 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {17 \pi }{19} \bigr )}+ \\ \sqrt [3]{ \cos\bigl ( \tfrac {9 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {13 \pi }{19} \bigr )+ \cos\bigl ( \tfrac {15 \pi }{19} \bigr )}= \\ \sqrt [3]{ \tfrac12 -3 \sqrt [3]7+ \tfrac32\sqrt [3]{3 \sqrt [3]{49}+18 \sqrt [3]7-25}+ \tfrac32\sqrt [3]{3 \sqrt [3]{49}+18 \sqrt [3]7-44}} \end {multline} que está estrechamente relacionado con el hecho de que $2 \left( \cos \frac{4\pi}{19} + \cos \frac{6\pi}{19}+\cos \frac{10\pi}{19} \right)$ es una raíz de la ecuación $\sqrt{ 4+ \sqrt{ 4 + \sqrt{ 4-x}}}=x$ .

Así que,

más precisamente: ¿es cierto que para cualquier $p=3k+1$ ¿la suma de 3 raíces cúbicas de la suma de cosenos (descrita anteriormente) se puede expresar en radicales reales?

¿qué se puede decir de la RHS en este caso (por ejemplo, sobre el número de radicales anidados)?

Answer 1

$\color{brown}{Update:}$

La pregunta es: ¿Es cierto que para cualquier $p=3k+1$ ¿la suma de 3 raíces cúbicas de la suma de cosenos se puede expresar en radicales reales?

La respuesta es Sí. En general, dadas las raíces $x_i$ de la ecuación cúbica general,

$$x^3+ax^2+bx+c=0\tag0$$

entonces las sumas que involucran las raíces cúbicas del $x_i$ se puede dar en la forma simple,

$$(u+x_1)^{1/3}+(u+x_2)^{1/3}+(u+x_3)^{1/3} = \big(w+3\,\sqrt{d}\,^{1/3}\big)^{1/3}$$

donde $u,w$ son las constantes,

$$u = \frac{ab-9c+\sqrt{d}}{2(a^2-3b)}$$

$$w = -\frac{(2a^3-9ab+27c)+9\sqrt{d}}{2(a^2-3b)}$$

y $d$ es el negado discriminante $D$ ,

$$d = -D = \tfrac{1}{27}\Bigl(4(a^2-3b)^3-(2a^3-9ab+27c)^2\Bigr)$$

1. Si $d$ es positivo, lo que significa que el discriminante $D$ es negativo, por lo que la cúbica tiene todas las raíces reales, así $u,w$ también son reales .
2. Además, si el cúbico tiene un grupo cíclico que es el caso cuando se trata de la $p$ raíz de la unidad, entonces $d$ es un cuadrado, así que $u,w$ de hecho son racionales .
3. El caso $a^2-3b=0$ implica $d =-(a^3-27c)^2$ Así que $+D$ por lo que sólo hay una raíz $x_1$ es real.

Ejemplo. Si utilizamos la cúbica para $\cos(2\pi/7)$ , a saber $x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0$ , entonces tenemos $u = 0$ o $1$ ya que $\pm\sqrt{d} = 7$ . Así, utilizando el caso negativo y positivo respectivamente, obtenemos,

$$\sqrt[3]{2\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{7}\bigr)}+\sqrt[3]{2\cos\bigl(\tfrac{4\pi}{7}\bigr)}+\sqrt[3]{2\cos\bigl(\tfrac{8\pi}{7}\bigr)} = \sqrt[3]{5\color{blue}{-}3\,\sqrt[3]{7}}$$

$$\sqrt[3]{1+2\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{7}\bigr)}+\sqrt[3]{1+2\cos\bigl(\tfrac{4\pi}{7}\bigr)}+\sqrt[3]{1+2\cos\bigl(\tfrac{8\pi}{7}\bigr)} = \sqrt[3]{-4\color{blue}{+}3\,\sqrt[3]{7}}$$

y así sucesivamente para otros $p=6m+1$ , cubriendo mi viejo adenda para $p=19$ .

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$\color{brown}{Old\; answer:}$

El fenómeno general puede ser explicado por una hermosa identidad cúbica encontrada por, por supuesto, Ramanujan . {Grigori M, irónicamente, usted señaló esta identidad en un antigua pregunta de la mía. :) }

I. Dadas las tres raíces $x_i$ de,

$$x^3-ax^2+bx-1 = 0\tag1$$

entonces,

$$x_1^{1/3}+x_2^{1/3}+x_3^{1/3} = (a+6+3t)^{1/3}\tag2$$

donde $t$ es una raíz de,

$$t^3-3(a+b+3)t-\big(ab+6(a+b)+9\big) = 0\tag3$$

La forma del $p=19$ sugiere que es sólo un caso particular de esta identidad. Ten en cuenta que,

$$y=2\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{7\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{11\pi}{19}\bigr)\Bigr)$$

(y las otras dos expresiones similares) es una raíz de,

$$y^3+y^2-6y-7=0$$

Se puede entonces escalar las variables y hacer que el término constante $c=-1$ . Lo hice, y obtuve el exactamente forma como la anterior.

II. Tenga en cuenta que si $a+b+3=0$ entonces $(3)$ adopta una forma especialmente sencilla. Después de algunas manipulaciones, he encontrado que dado,

$$x^3 + x^2 - (3 n^2 + n)x + n^3=0\tag4$$

entonces,

$$F_P = x_1^{1/3}+x_2^{1/3}+x_3^{1/3} = \sqrt[3]{-(6n+1)+3\sqrt[3]{nP}}\tag5$$

donde $P = 9n^2+3n+1$ . Para $n = -1, 1, -2, 2$ obtenemos las mismas cúbicas satisfechas por el sumas de cosenos para $P=7,13,31,43,\dots$ explicando así las simples sumas,

$$F_7 =-\sqrt[3]{-5+3\sqrt[3]{7}}$$

$$F_{13} = \sqrt[3]{-7+3\sqrt[3]{13}}$$

y así sucesivamente, aunque no puedo demostrar que las raíces de $(4)$ son siempre sumas de cosenos cuando $P$ es primo. Tal vez lo haga como una pregunta separada.

Answer 2

Se puede escribir de otra forma: $$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k+2}) }=\sqrt[3]{6m-1-3\sqrt[3]{mp}}\ ; \ p=9m^{2}-3m+1\ ;$$ donde $a$ es un generador de grupo multiplicativo de enteros módulo $p$ . Por ejemplo: $$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-7+3\sqrt[3]{13}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{11-3\sqrt[3]{2\cdot 31}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-13+3\sqrt[3]{2\cdot 43}}$$ $$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k+2}) }=\sqrt[3]{17-3\sqrt[3]{3\cdot73}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-31+3\sqrt[3]{5\cdot241}}$$ $$\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-43+3\sqrt[3]{7\cdot 463}}$$

Answer 3

Supongamos que $p=3k+1$ . Entonces, por un teorema de Gauss $4p=A^2+27B^2$ y sumas cúbicas como $\displaystyle\sum_{t\in\mathbb Z/p}\cos\left(\frac{2\pi t^3}p\right)$ son raíces de la ecuación $x^3-3px-Ap=0$ . Y si tenemos tres raíces $x_i$ de una ecuación cúbica, el lema de Ramanujan da el valor de $\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\sqrt[3]{x_3}$ . Eso es precisamente lo que está pasando, creo.

Answer 4

( Adenda a mi respuesta. ) Acabo de darme cuenta de que un pequeño ajuste a la $p=19$ identidad citada por el OP,

$$\sqrt[3]{\cos\bigl(\tfrac{\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{7\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{11\pi}{19}\bigr)}+\\ \sqrt[3]{\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{17\pi}{19}\bigr)}+\\ \sqrt[3]{\cos\bigl(\tfrac{9\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{13\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{15\pi}{19}\bigr)}=\\ \sqrt[3]{\tfrac12-3\sqrt[3]7+\tfrac32\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49}+18\sqrt[3]7-25}+\tfrac32\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49}+18\sqrt[3]7-44}}=0.815731\dots$$

puede dar una más sencilla, pero diferente,

$$\sqrt[3]{ -\tfrac{1}{2}+\cos\bigl(\tfrac{\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{7\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{11\pi}{19}\bigr)}+\\ \sqrt[3]{-\tfrac{1}{2}+\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{17\pi}{19}\bigr)}+\\ \sqrt[3]{-\tfrac{1}{2}+\cos\bigl(\tfrac{9\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{13\pi}{19}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{15\pi}{19}\bigr)}=\\ \sqrt[3]{-4+\tfrac{3}{2}\sqrt[3]{19}}=0.1375504\dots$$

Es porque sólo hay un lineal transformación entre el cúbico involucrado en,

$$\sqrt{ a+ \sqrt{ a + \sqrt{ a-x}}}=x$$

y el cúbico para,

$$y_1^{1/3}+y_2^{1/3}+y_3^{1/3} = \sqrt[3]{-(6n+1)+3\sqrt[3]{nP}}$$

con $P = 9n^2+3n+1$ y utilizamos $n=\frac{1}{2}$ .

Ver estos comentarios .