Conjunto de homomorphisms formar un grupo?

Question

Dado espacios vectoriales $V, W$ sobre el campo $F$, el conjunto de todos los lineales de los mapas de $V \to W$ forma un espacio vectorial sobre $F$ bajo pointwise adición.

Hay un análogo para los grupos? Puede que el conjunto de todos los homomorphisms de grupos de $G \to K$ ser dada una estructura de grupo?

Answer 1

El conjunto de todos los homomorphisms entre dos grupos de forma naturalmente un groupoid en lugar de un grupo; los objetos de la groupoid son los homomorphisms y los morfismos son dadas por pointwise conjugación, por lo que si $\varphi_1, \varphi_2 : G \to H$ son dos homomorphisms, a continuación, una de morfismos entre ellos es un elemento $h \in H$ tal que $\varphi_1(g) = h \varphi_2(g) h^{-1}$ todos los $g \in G$.

Este es un caso especial de la construcción de functor categorías, el pensamiento de los grupos como categorías de objetos.

Algunas otras de las palabras clave relevantes a partir de la categoría de la teoría: enriquecido categoría, preadditive categoría (lo que yo prefiero llamar a un $\text{Ab}$enriquecido categoría). La categoría de $\text{Vect}$ de los espacios vectoriales se enriquece sobre la misma, como es la categoría de $\text{Ab}$ de abelian grupos, la categoría de $\text{Cat}$ de los (pequeños) categorías, y su subcategoría $\text{Gpd}$ de groupoids.

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Me doy cuenta de que he esquivó la pregunta original hasta cierto punto. Hay una natural condición adicional para pedir cuando usted pone una estructura adicional en homsets, a saber, la composición debe respetar esa estructura. Así que si quieres enriquecer la categoría de grupos de más de sí mismo, entonces sería bueno si la composición de la

$$\text{Hom}(G, H) \times \text{Hom}(H, K) \to \text{Hom}(G, K)$$

eran un grupo homomorphism. Pero esto implica que $\text{Hom}(G, G)$ viene equipado con dos monoid estructuras, uno dado por el enriquecimiento y uno dado por la composición, los cuales satisfacen la compatibilidad de la relación de la Eckmann-Hilton argumento. A continuación, se deduce que la monoid estructuras deben ser isomorfos y conmutativa, pero ahora lo que sigue es que cada grupo homomorphism $G \to G$ es un isomorfismo y también que $\text{Aut}(G)$ siempre es conmutativa, ambos de los cuales son claramente una contradicción.

(Entonces, ¿por qué podemos enriquecer la categoría de abelian grupos de más de sí? La razón es que le dan $\text{Ab}$ diferentes monoidal estructura, a saber, el producto tensor, que cambia la condición que queremos en la composición

$$\text{Hom}(A, B) \otimes \text{Hom}(B, C) \to \text{Hom}(A, C)$$

ser un grupo de homomorphism, lo que puede suceder. Ahora la compatibilidad de la relación en $\text{Hom}(A, A)$ proveniente de sus dos monoid estructuras convierte en un anillo. Pero la categoría de grupos, a diferencia de la categoría de abelian grupos, no tienen un concepto de producto tensor.)