Hallazgo $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x+x^3/6)-x}{x^5}$

Question

Estoy tratando de encontrar el límite de esta expresión:

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(x+x^3/6\right)-x}{x^5}$$

Mi solución es la siguiente: $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{\sin\left(x+x^3/6\right)-x}{x^5}&=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^5}\cdot\!\!\left[\frac{(x+x^3/6)\sin(x+x^3/6)}{(x+x^3/6)}-x\right]\\ &=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^5}\cdot\!\!\left[(x+x^3/6)-x\right]\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x^3}{6x^5}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{1}{6x^2}=+\infty \end{align} $$ Pero Wolfram Alpha se encuentra el límite de $-\frac{3}{40}$. Donde está mi error?

Answer 1

Para el error, ver los comentarios y respuestas que la dirección ya está. Si usted está familiarizado con la serie de Taylor, se puede calcular el límite de la siguiente manera, la observación de que $$ \pecado y \operatorname*{=}_{y\to 0} y - \frac{y^3}{6} + \frac{y^5}{120} +o(y^5)\ . $$ $$\begin{align} \sin (x+\frac{x^3}{6}) &\operatorname*{=}_{x\to 0} x+\frac{x^3}{6} - \frac{(x+\frac{x^3}{6})^3}{6} + \frac{(x+\frac{x^3}{6}^5)}{120} +o(x^5) \\ &= x+\frac{x^3}{6} -\left(\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{12}\right) + \frac{x^5}{120 } +o(x^5) \\ &= x-\frac{3}{40}x^5 +o(x^5) \end{align}$$ donde ignoramos los términos de $x^k$ $k > 5$ (a medida que "tragarse" en el $o(x^5)$) cuando el desarrollo de la $(\cdot)^3$$(\cdot)^5$. Tenga en cuenta que tenemos que ir, al menos, el segundo término de los senos paranasales (en $y^3$) como la primera será cancelado por el $-x$ que estamos a punto de añadir: $$\begin{align} \frac{\sin (x+\frac{x^3}{6}) - x}{x^5}&\operatorname*{=}_{x\to 0} \frac{x-\frac{3}{40}x^5 +o(x^5) - x}{x^5} = \frac{-\frac{3}{40}x^5 +o(x^5)}{x^5} = -\frac{3}{40} + o(1) \end{align}$$ ceder el límite.

Answer 2

Tu error está en esta línea

$$\lim_{x\to0}\dfrac{\left[{\left(x+\tfrac{x^3}6\right)\sin\left(x+\tfrac{x^3}6\right)}\left/\right.{\left(x+\tfrac{x^3}6\right)}\right]-x}{x^5}=\lim_{x\to0}\dfrac{x+\tfrac16x^3-x}{x^5}.$$

No se puede evaluar el límite de uso de $\lim\limits_{u\to0}\frac{\sin u}u=1$ directamente ya que usted está utilizando las dos leyes $$\lim_{x\to0}(f+g)=\lim_{x\to0}f+\lim_{x\to0}g,\quad\lim_{x\to0}f\cdot g=\lim_{x\to0}f\cdot\lim_{x\to0} g,$$ and they don't hold when $\lim f$ or $\lim g$ no existen. (o ambos)

Answer 3

Este límite puede ser calculado mediante la aplicación de (ferozmente :)) L'Hospital de la regla de tres veces en sucesión: $$\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(x+x^3/6\right)-x}{x^5}=$$I.$$=\lim_{x\to0}\frac{(1+x^2/2)\cos\left(x+x^3/6\right)-1}{5x^4}=$$ II.$$=\lim_{x\to0}\frac{x\cos\left(x+x^3/6\right)-(1+x^2/2)^2\sin\left(x+x^3/6\right)}{20x^3}=$$ III.$$=\lim_{x\to0}[\frac{\cos\left(x+x^3/6\right)-x(1+x^2/2)\sin\left(x+x^3/6\right)}{60x^2}-$$$$-\frac{2x(1+x^2/2)\sin\left(x+x^3/6\right)+(1+x^2/2)^3\cos\left(x+x^3/6\right)}{60x^2}]=$$ $$=\frac{1}{60}\lim_{x\to0}[\frac{\cos\left(x+x^3/6\right)(1-(1+x^2/2)^3)}{x^2}-\frac{3x(1+x^2/2)\sin\left(x+x^3/6\right)}{x^2}]=$$$$= \frac{1}{60}(-\frac{3}{2}-3) =-\frac{3}{40}.$$