Demostrando un límite de una función multivariable no existe

Question

Teorema: Si $f(x,y)$ dos enfoques diferentes valores de $(x,y)\to (a,b)$ a lo largo de dos caminos diferentes en el dominio de $f$, a continuación, $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x)$ no existe.

En clase hemos tenido una función $f(x,y)$ $(x,y) \to (0,0)$ y se demostró que el límite de $f$ $x \to 0$ fue el mismo para todos lineal rutas definidas por $y=mx$.

En contraste, por lo que la sustitución de $y=ax^2$ se demostró que el límite de $f$ $x\to 0$ fue diferente para parabólico caminos, y por lo tanto que el límite no existe.

Mi pregunta es:

¿Cómo es esto posible? ¿Por qué no podemos encontrar algunas de línea de la forma $y=mx$ para cualquier trayectoria parabólica de tal manera que estos caminos tanto el enfoque de la en el límite de la misma manera?

¿Por qué es insuficiente para demostrar que el límite existe sólo por sustituyendo $y=mx$? Si no recuerdo cálculo 2 correctamente, podemos bonita mucho aproximar cualquier función cerca de $x=0$ con una función lineal. Así, ¿qué está pasando?

Answer 1

Usted puede aproximado no cualquier función, sólo diferenciable funciones. No todas las funciones son diferenciables.

Demostrando un límite en un punto existe por la simple sustitución de la forma y=mx significa que la función tiene una direccional de la derivada en ese punto, a lo largo de la dirección de la pendiente $m$.

Una función derivable tiene derivadas direccionales en todas las direcciones, pero que una función puede tener derivadas direccionales sin ser diferenciable. Que es la base (en el contexto más general de la normativa de los espacios de la diferencia entre el Gâteaux derivados y la Fréchet derivados.

Answer 2

Vamos a analizar lo que sucede cuando tratamos con funciones de parámetros. El dominio de un parámetro de la función es una línea (o parte de él) y que sólo tiene dos direcciones (izquierda y derecha). No sólo tiene que ver si el lado izquierdo del límite y de la mano derecha límite son iguales al valor de la función en un punto dado.

En dos funciones de parámetros en el dominio tiene una forma de una llanura, y así hay infinitamente muchas maneras de diferente naturaleza (línea, parábola, espiral, ... incluso irregulares, curvas) tiende a un punto dado. Decir que el límite existe, usted necesita tener el mismo valor en todas las direcciones cuando se aproxima el punto dado (igual al valor de la función en ese punto), otherways tendrás una cuña en la gráfica de la función respeto a la manera en que se aproxima el punto tiene un valor diferente en relación con el valor de la función en ese punto.

Answer 3

Este ejemplo puede ayudar a usted. Deje $f:\mathbb R^ 2\to \mathbb R$ ser definido en coordenadas polares $r\ge0, \, \theta \in (0,2\pi]$ $$f(r,\theta) = re^{1/\theta}.$$

En términos de estas coordenadas, que se acercan al origen a través de una línea equivale a la fijación de $\theta$ y dejando $r\to 0$. Es claro que, en cualquiera de los casos (con $\theta\in(0,2\pi]$) $f$ se acercará a $0$, pero a diferentes velocidades!

Esta sutileza de $f$ no es capturado por cualquier línea recta y que es crucial para su (dis)continuidad en el origen. De hecho, usted puede acercarse a $\vec 0$ por una curva que pasa a través de cada línea de una sola vez y a lo largo de la cual $f$ es constante: \begin{align} && f(r,\theta) &= C \\ \iff&& re^{1/\theta}&=C \\ \iff&& r &= Ce^{-1/\theta}.\end{align} Por lo tanto, como $(r,\theta)$ acerca el origen a lo largo de la curva de $ (e^{-1/\theta},\theta)$ $f$ tendrá el valor de $1$, constantemente. He aquí un gráfico de contorno de $f$: