Demostrar que $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3n+1} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}+\frac{\log 2}{3}$

Question

Demostrar que $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3n+1} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}+\frac{\log 2}{3}$$

Traté de mirar a $$ f_n(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3n+1} x^n $$

Y tal vez tomando es derivado, pero no salió bien.

Alguna idea?

Answer 1

Para una serie geométrica.

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(x^n) = \frac{1}{1+x}$$

Sustituto $x \rightarrow x^3$

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x^{3n}) = \frac{1}{1+x^3}$$

Integrar los lados.

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{3n + 1}}{3n + 1} = \int \frac{dx}{1+x^3}$$

La parte difícil es la integración. A continuación, vamos a $x=1$