Ejercicio 3.7 Hartshorne

Question

Problema. Demuestre que dos curvas cualesquiera en $\mathbb{P}^2$ tienen una intersección no vacía.

Esto parece desprenderse inmediatamente del Teorema de la Dimensión Proyectiva, pero me preguntaba si alguien podría aportar una prueba más "elemental".

Gracias

Answer 1

He aquí una prueba elemental utilizando sólo la parte de Hartshorne que precede al ejercicio de la página 21.

Supongamos dos curvas $X,Y\subset \mathbb P^2$ tienen una intersección vacía.
Entonces $Y\subset U:=\mathbb P^2\setminus X$ .
Sin embargo, $U$ es afín como se puede ver a través de la $d$ -La incrustación de la tupla del Ejercicio 2.12, página 13: ver la respuesta aquí .
Pero esto es absurdo porque las funciones regulares globales sobre una variedad afín separan sus puntos [restringen las funciones de coordenadas del $\mathbb A^N$ en la que está incrustada], mientras que para nuestra curva proyectiva $\mathcal O(Y)=k$ : Teorema 3.4(a), página 18.

Answer 2

No es una respuesta completa.

Tomemos el caso de dos líneas $\ell_1,\ell_2\subset\mathbb P^2$ . Supongamos que la línea $\ell_1$ viene dada por la ecuación lineal $a_1x+b_1y+c_1z=0$ , mientras que $\ell_2$ viene dada por $a_2x+b_2y+c_2z=0$ .

(Este suele ser el punto en el que se dice "podemos suponer que $b_1=c_1=0$ "para simplificar la configuración. Podríamos, pero no lo hagamos).

Supongamos que $\ell_1\neq\ell_2$ es decir, el vector $(a_2,b_2,c_2)$ no es un múltiplo de $(a_1,b_1,c_1)$ . Entonces, si estuviéramos en el mundo del álgebra lineal (espacios vectoriales), sabríamos que existe un espacio vectorial unidimensional $V=(\alpha,\beta,\gamma)\cdot\mathbb k\subset \mathbb k^3$ de soluciones comunes. No estamos tan lejos de ese mundo, ya que estamos en su versión "proyectivizada", y todavía podemos utilizar lo que sabemos del álgebra lineal: de hecho, la proyectivización $\mathbb P(V)$ de ese espacio vectorial unidimensional es un punto $(\alpha:\beta:\gamma)$ en el plano, y ese punto es exactamente la intersección $\ell_1\cap\ell_2$ .

Para el caso de una curva $C$ y una línea $\ell$ Se podría argumentar lo siguiente: Si $C$ eran disjuntos de $\ell$ entonces $C$ estaría totalmente contenida en el subconjunto afín abierto $\mathbb P^2\setminus \ell=\mathbb A^2$ . Entonces $C$ es afín, pero como era proyectiva, tiene que ser discreta, en particular no puede tener dimensión uno - contradicción.

Te dejo manejar el caso general.

Answer 3

Voy a publicar esto como respuesta ya que recibió críticas positivas en los comentarios. Esta es probablemente la solución prevista (también, por la forma en que el OP respondió a mis comentarios, no la que estaba pensando), pero ciertamente no es tan agradable como la respuesta de Georges o Brenin.

Queremos tomar dos curvas proyectivas $V_+(f)$ y $V_+(g)$ (donde $f,g\in k[x,y,z]$ son homogéneos) en $\mathbb{P}^2_k$ y demostrar que tienen una intersección no trivial. Pasando a los conos $C(V_+(f))$ y $C(V_+(g))$ en $\mathbb{A}^3_k$ basta con demostrar que dos hipersufas de $\mathbb{A}^3_k$ que se cruzan en el origen, no pueden tener intersección precisamente el origen.

Para ver esto, sabemos que nuestras hipersuperficies son de la forma $V(f)$ y $V(g)$ para algunos $f,g\in k[x,y,z]$ . También podemos suponer que $f,g$ son irreducibles (¿por qué?). Como ambas curvas contienen el origen $(f),(g)\subseteq (x,y,z)$ . Queremos entonces ver por qué $V(f)\cap V(g)=V(f,g)$ no es precisamente el origen o, dicho de otro modo, por qué $I(V(f,g))\ne (x,y,z)$ . Pero, cualquier primo mínimo que contenga $(f,g)$ (o equivalentemente cualquier primo mínimo que contenga $I(V(f,g))=\sqrt{(f,g)}$ ) debe tener una altura máxima de $2$ por el teorema de la altura de Krull. Así, en particular, si $(x,y,z)=I(V(f,g))$ entonces $\text{ht}((x,y,z))\leqslant 2$ Lo cual es ridículo.

Por supuesto, geométricamente, esto es describir un límite en la codimensión de la intersección de hipersuperficies.

Esto se puede generalizar para mostrar que si $X,Y$ son subvariedades cerradas, de dimensión pura, de $\mathbb{P}^n_k$ con $\text{codim}(X)+\text{codim}(Y)\leqslant n$ entonces $X$ y $Y$ se cruzan.