El $<$ -relación en $\mathbb{Z}$ no es definible en $(\mathbb{Z}, 0, +)$

Question

Soy un completo recién llegado a la lógica y estoy teniendo problemas para demostrar lo siguiente:

El $<$ -relación en $\mathbb{Z}$ no es definible en $(\mathbb{Z}, 0, +)$ .

Ahora, sé que el $<$ -relación en $\mathbb{N}$ es definible en la estructura $(\mathbb{N}, 0, +)$ mediante la fórmula $$\phi(x, y) := \exists z (z \neq 0 \land z + x = y).$$ Mi idea era demostrar que si $<$ es definible en $(\mathbb{Z}, 0, +)$ entonces la fórmula definitoria tendría que corresponder a la anterior $\phi$ en $\mathbb{Z}^{\geq0}$ y luego derivar alguna contradicción. Sin embargo, nunca he hecho una prueba de no-definibilidad antes y no sé realmente cómo uno generalmente va sobre tales pruebas. ¿Siempre es aconsejable hacer una prueba por contradicción? Y si es así, ¿hay algún "tipo estándar" de contradicción que generalmente se busque en estos casos?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La situación es invariable bajo la negación. Se deduce que no se puede distinguir $\lt$ de $\gt$ .

Answer 2

Es fácil comprobar que $h:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ a través de $x\mapsto -x$ es un automorfismo y $\mathbb{Z}^+$ , el conjunto de enteros positivos, no está cerrado bajo este automorfismo. Por lo tanto, $\mathbb{Z}^+$ no es definible en $(\mathbb{Z},0,+)$ . Tenga en cuenta que la definibilidad de $<$ -relación es lo mismo que $\mathbb{Z}^+$ .