Demostrar que dos anillos de matrices no son isomorfos

Question

Deje $p$ ser un número primo y $$A_p = \{\left( \begin{matrix} a & bp \\ b & a \\ \end{de la matriz} \right)|\ a, b \in \mathbb{Z} \}$$

Mostrar que $A_2$ $A_3$ no son isomorfos. El problema había otras 2 preguntas, pero este es en el que me quedé atrapado.

He intentado por escrito $\left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{de la matriz} \right)$ as$\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{de la matriz} \right) + \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{de la matriz} \right)$ and as $\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{de la matriz} \right) \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{de la matriz} \right)$ as with $\mathbb{2Z}$ and $\mathbb{3Z}$, pero no sé cómo continuar.

Answer 1

Edificio en la observación de Lord Shark el Desconocido, vemos que en $A_2$ no es un elemento $$\left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{de la matriz} \right)$$ cuyo cuadrado es $2I$. En $A_3$ el cuadrado de un elemento arbitrario toma la forma $$\left( \begin{matrix} a^2+3b^2 & 6ab \\ 2ab & a^2+3b^2 \\ \end{de la matriz} \right)$$ Para ese tipo de elemento a la igualdad de $2I$ debemos tener $a=0$ o $b=0$, en cuyo caso no hay solución a $a^2+3b^2=2$, lo $A_3$ no tiene ningún elemento cuyo cuadrado es $2I$. $A_2$ y $A_3$ no pueden ser isomorfos.

Answer 2

He aquí otra manera de ver. Si $\phi$ es un isomorfismo, entonces $a$ $\phi(a)$ satisfacer los mismos polinomios con coeficientes enteros, por lo tanto tienen los mismos autovalores. Pero los autovalores de a $A_p$ $a\pm b\sqrt{p}.$