Derivando la fórmula $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ de la propiedad geométrica de un determinante

Question

Supongamos que tenemos de que el determinante satisface la siguiente propiedad de cualquier $X\subset\mathbb{R}^n$: $$\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha (X))=\det A\cdot\operatorname{vol}(X).$$ Here $\alpha\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb R^n$ is any linear operator which under any fixed basis yields the matrix $$. Further $\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha (X))$ represents the signed volume, i.e. it is the volume with the negative sign if $\alpha$ involves reflection. $\operatorname{vol}(X)$ representa el ordinario de volumen.

Ahora queremos demostrar que para cualquier par de matrices de $A,B$ tenemos $\det(AB)=\det(A)\det(B)$. Con ese fin, nos vamos a $\alpha,\beta$ ser los operadores correspondientes con $A,B$ y para cualquier conjunto $X$ con un valor distinto de cero volumen y tenga en cuenta que $$\det(AB).\operatorname{vol}(X)=\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha\beta (X))=\det A\cdot\operatorname{vol}(\beta X)$$

Ahora me gustaría que $\det A\cdot\operatorname{vol}(\beta X)=\det A\cdot\det B\cdot\operatorname{vol}(X)$, de modo que la cancelación $\operatorname{vol}(X)$ tenemos que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ como se requiere. Mi problema es que $\operatorname{vol}(\beta X)\ne\det B\cdot\operatorname{vol}(X)$ en general como $\operatorname{vol}(\beta X)$ representa el ordinario de volumen y no se firma el volumen.

Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

$\DeclareMathOperator\vol{vol}% \newcommand\volhat{\widehat{\operatorname{vol}}}$Se puede comenzar con el unsigned ecuación $$\vol(\alpha(X)) = \left|\det \alpha\right|\cdot\vol(X)$$ de la que podemos obtener $$\left|\det (\alpha\circ\beta)\right|\cdot \vol X = \vol(\alpha(\beta(X))) = \left|\det\alpha\right|\cdot\vol(\beta(X)) = \left|\det\alpha\right|\cdot\left|\det\beta\right|\cdot\vol(X)$$ y por lo tanto $$\left|\det(\alpha\circ\beta)\right| = \left|\det\alpha\cdot\det\beta\right|.$$

Su orientadas volumen $\volhat(Y)$ no está bien definida, ya que $\volhat(Y)$ $Y=\alpha(X)$ parece depender de las propiedades de $\alpha$, pero también tenemos $Y=\operatorname{id}(Y)$, lo $\volhat$ no puede decidir el signo sin conocer el mapa de involucrarse.

Con el fin de hacer una rigurosa instrucción incluyendo la orientación, en primer lugar, definir la noción de una orientada a establecer (es decir, una estructura que consta de (i) el conjunto y (ii) una orientación de conjunto) y, a continuación, orientado a definir los volúmenes orientado a conjuntos.

---

Permítanme explicar por qué usted realmente necesita la noción de un conjunto realización de una orientación:

Si quieres leer $\volhat(\alpha(X))$ como un mapa que lleva a la pareja a $(\alpha, X)$ y le da orientado volumen mirando a $\alpha$ para el signo y $X$ para el volumen, usted tiene $$\det(\alpha\circ\beta)\cdot\vol(X) = \volhat((\alpha\circ\beta)(X))$$ donde ahora se $\volhat$ mira el par $(\alpha\circ\beta, X)$. Pero lo que quiero es $\volhat(\alpha(\beta(X)))$ en el siguiente paso, donde ahora mira a la par $(\alpha,\beta(X))$, donde todo lo $\beta$ hace a la orientación que se perdió, ya que $\volhat(\alpha(\beta(X))$ sólo se preocupa por el mapa $\alpha$ y los perdidos set $\beta(X)$.

Definir orientado a conjuntos y llevar siempre la orientación de $X$ $\beta(X)$ % # % y el problema de la pérdida de información no se produce más.

---

Permítanme tratar de hacer esto:

Definición: Una orientada a establecer es un par $\alpha(\beta(X))$ donde $\widehat X=(X,\epsilon)$ es un conjunto y $X\subseteq\mathbb R^n$ es la orientación. Definir $\epsilon\in\{+,-\}$.

Deje $\epsilon(\widehat X):=\epsilon$ ser el conjunto de todas orientadas a los subconjuntos de a $\mathcal O(\mathbb R^n)$.

Definición: Una lineal mapa de $\mathbb R^n$ da lugar a un mapa $$\begin{align} \widehat\alpha:\mathcal O(\mathbb R^n) &\longrightarrow \mathcal O(\mathbb R^n), \\ \widehat X &\longmapsto (\alpha(X), \alpha(\epsilon(\widehat X))), \end{align}$$ donde $\alpha:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ si $\alpha(\epsilon)=\epsilon$ no se invierte el espacio y $\alpha$ si lo hace. Tenga en cuenta que $\alpha(\epsilon)=-\epsilon$.

Definición: La orientada al volumen de una orientada a establecer $\widehat{\alpha\circ\beta}=\widehat\alpha\circ\widehat\beta$ está dado por $\widehat X$$

Con estas definiciones, tenemos para una orientada a establecer $$\volhat(\widehat X) := \epsilon(\widehat X)\cdot\vol(X).$ y un lineal mapa de $\widehat X$$$ \volhat(\widehat\alpha(\widehat X)) = \det\alpha \cdot \volhat(\widehat X) = \alpha(+)\cdot\left|\det\alpha\right|\cdot\volhat(\widehat X). $$

Llegamos a la conclusión de $$\begin{align} \det(\alpha\circ\beta)\cdot\volhat(\widehat X) &= \volhat((\widehat\alpha\circ\widehat\beta)(\widehat X)) = \volhat(\widehat\alpha(\widehat\beta(\widehat X)) = \det \alpha \cdot \volhat (\widehat\beta(\widehat X)) \\&= \det \alpha \cdot\det \beta \cdot\volhat(\widehat X)). \end{align}$$