¿Qué se entiende exactamente por "cerrado bajo rellene el espacio en blanco"?
Gracias.
Encuentro que el ejemplo de la multiplicación escalar es menos afortunado, porque la principal instancia donde hablaría sobre multiplicación escalar es en álgebra lineal, y allí la descripción que das no se aplica. En álgebra lineal, un subespacio está cerrado bajo la multiplicación escalar (y la suma) porque al multiplicar cualquier vector del subespacio por cualquier escalar del campo (que no sea del subespacio) se obtiene un vector en el subespacio. Aparentemente, esto no es lo que querías decir, ¿entonces por qué mencionaste "escalar" allí?
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Algo está "cerrado bajo rellenar el espacio en blanco" si aplicar rellenar el espacio en blanco a elementos de algo produce elementos de algo.
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Para complementar la respuesta anterior, el conjunto de enteros está cerrado bajo la suma porque si tomas dos enteros y los sumas, siempre obtendrás otro entero. El conjunto de enteros no está cerrado bajo la división, porque si tomas dos enteros y los divides, no siempre obtendrás un entero.
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El conjunto de todos los conjuntos cerrados es cerrado bajo la unión finita significa que, si $\{ A_i\}_{i=1}^n$ es una colección finita de conjuntos cerrados, entonces $\cup_{i=1}^n A_i$ es un conjunto cerrado.
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Decimos que algo está cerrado bajo la operación x si aplicar la operación x a un conjunto de elementos y produce elementos en y.
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En lo que dijo @Senpai, a veces es importante distinguir si el cierre es para conjuntos "finitos" o "arbitrarios". Los racionales están cerrados bajo la adición, pero si concluyeras que eso significa que están cerrados bajo el operador de suma, estarías equivocado, ya que las sumas de infinitos racionales no son necesariamente racionales.
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@SteveKass Bueno, tal vez las sumas infinitas deberían considerarse como una operación diferente por completo. ¿Está bien definido aplicar una operación infinitas veces?
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@Senpai Cierto. Supongo que la clave es tener cuidado con lo que significa "una operación", ya que hay algunas como la resta, que solo tienen sentido como operadores binarios; algunas como la unión, que podrían ser definidas inicialmente como operadores binarios, pero que tienen sentido para colecciones arbitrarias; y algunas como la suma, que encajan en algún lugar intermedio.