Una aplicación sencilla de Hölders la desigualdad (creo)

Question

Estoy leyendo un papel en donde la siguiente desigualdad aparece. $$ \| \widehat{f} \|^2_{L^2(d\mu)} \leq \| f \ast \widehat{\mu} \|_p \| f \|_{p^\prime} $$ donde $f$ es un valor real medible en función de $\mathbb{R}^n$, $\mu$ es una medida positiva en $\mathbb{R}^n$, e $\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = 1$. Creo $\| \cdot \|_p$ $\| \cdot \|_{p^{\prime}}$ con respecto a la medida de Lebesgue.

$$ \widehat{\mu}(\xi) = \int e^{-2 \pi i x \xi} d\mu(x) $$

Siento que esta debe ser una consecuencia de Hölder la desigualdad y algunas identidades relativas de convolución y la transformada de Fourier, pero no puedo averiguar.

Por favor alguien puede ayudar?

Answer 1

Voy a suponer $\mu$ finito. Por Hölder la desigualdad, $$\tag{*}\lVert f*\widehat\mu\rVert_p\lVert f\rVert_{p'}\geq \int_{\Bbb R^n}(f*\widehat \mu)(x)f(x)dx,$$ por lo tanto, es suficiente para demostrar que el lado derecho de esta desigualdad es la LHS, en la OP. En primer lugar, podemos escribir \begin{align} (f*\widehat \mu)(x)&=\int_{\Bbb R^n}f(x-t)\widehat\mu(t)dt\\ &=\int_{\Bbb R^n}f(x-t)\int_{\Bbb R^n}e^{-2\pi its}d\mu(s)dt\\ &=\int_{\Bbb R^n\times\Bbb R^n}f(x-t)e^{-2\pi its}d\mu(s)dt, \end{align} y ponerlo en (*), tenemos, denotando $g(x):=f(-x)$, \begin{align} \lVert f*\widehat\mu\rVert_p\lVert f\rVert_{p'}&\geq \int_{(\Bbb R^n)^3}f(x-t)f(x)e^{-2\pi its}d\mu(s)dtdx\\ &=\int_{(\Bbb R^n)^3}g(t-x)f(x)e^{-2\pi its}d\mu(s)dtdx\\ &= \int_{\Bbb R^n\times\Bbb R^n}(g*f)(t)e^{-2\pi its}d\mu(s)dt\\ &=\int_{\Bbb R^n}\widehat{g*f}(s)d\mu(s)\\ &=\int_{\Bbb R^n}\widehat{g}(s)\widehat f(s)d\mu(s)\\ &=\int_{\Bbb R^n}|\widehat f|^2d\mu(s), \end{align} lo que se quiere.