Si Gal(K,Q) es abelian entonces |Gal(K,Q)|=n

Question

Deje $f(x)\in \mathbb Q[x]$ irreducible de grado $n$ $K$ de su división de campo de más de $\mathbb Q$. Probar que si $\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)$ es abelian, a continuación,$|\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)|=n$.

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Me pregunto si esto funciona:

Desde $K/ℚ$ es abelian, cada intermedio de extensión es normal y así es $ℚ(α)$ para algunos de cero $α ∈ K$$f$. Esto debe significar que la $ℚ(α)$ es una división de campo de la $f$$K = ℚ(α)$.

Answer 2

Me gustaría probar la siguiente línea de argumento. Sólo esbozar ahora (piense en ello como extendido sugerencias):

1. Identificar el grupo de Galois $G$ como un subgrupo de la permutación de las $n$ raíces. ¿Por qué es $G$ transitiva?
2. Deje $G_1, G_2, \ldots, G_n$ ser el punto de estabilizadores. Es decir, si $x_i$, $i=1,2,\ldots,n$, es una de las raíces, a continuación,$G_i=\{\sigma\in G\mid \sigma(x_i)=x_i\}$. Muestran que todos los grupos de $G_i$ son conjugado a cada uno de los otros y, por tanto, igual a la otra.
3. Demostrar que la intersección $\cap_iG_i$ es trivial, y a la conclusión de que todos los subgrupos $G_i$ son triviales.
4. Mostrar que $|G|=n|G_i|$ cualquier $i$. Disfrutar de la felicidad que viene de haber completado esta tarea.