Juego de dados - calcular la probabilidad jugador a gana

Question

Hace un par de semanas, me encontré con el siguiente problema.

Alice y Bob están planeando para jugar el uno contra el otro. Antes de empezar a jugar el juego, Bob quiere calcular su probabilidad de ganar para determinar si se tiene una expectativa positiva.
El juego funciona de la siguiente manera. Charlie comienza a lanzar dos dados y se registra la suma de los dos dados cada vez. Si en un determinado punto de una secuencia de dos $7$s en una fila se produce, Alice, gana el juego y el juego termina. Si por el contrario, una secuencia de tres estrictamente creciente de números se produce, Bob gana el juego y el juego termina.
¿Cuál es la probabilidad de que Bob (o Alice) gana el juego?

Estoy buscando un método teórico de la solución de este problema. He intentado un par de tipos diferentes, pero no parece funcionar. Estoy pensando que alguna versión de la utilización de cadenas de Markov podría funcionar, aunque no veo cómo.
Después de hacer algunas simulaciones que he encontrado:

1. La expectativa de que el número de intentos antes de una secuencia de dos $7$s es una fila se produce, es, aproximadamente,$42$.
2. La expectativa de que el número de intentos antes de una secuencia de tres números crecientes es una fila se produce, es, aproximadamente,$10.5$.
3. No parece dividir las expectativas del número de intentos que aunque te acerques, es decir, es probable que haya alguna dependencia de la relación pasando.
4. La probabilidad de Alice ganar es aproximadamente $19\%$.

Edit: tengo la siguiente probabilty de Alice ganando a ser igual a $$ \frac{450074090171}{556534555787} \approx 80.87\% $$ después de aplicar joriki del método. A través de simulaciones y haciendo algún intervalo de confianza del análisis, esta parece ser la correcta, ya que es en el interior de algunos de los 95% de intervalos de confianza me construidas: $$ [80.76215853,80.98464147]. $$

He utilizado el siguiente pedido de la $20$ incógnitas: $$(p_2,p_3^-,p_4^-,...,p_{11}^-,p_3^+,p_4^+,...,p_{11}^+,p_{12})$$

La matriz inducida por las ecuaciones lineales está dado por $[A_1,A_2]$ I multiplican las ecuaciones por $36$, ten en cuenta que en dos lugares a los que me han escrito un *, que está relacionado con Alice ganar, es decir, dos $7$s en una fila) $$ A_1 = \begin{pmatrix}-35&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&-34&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&2&-33&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&2&3&-32&0&0&0&0&0&0\\ 1&2&3&4&-31&0&0&0&0&0\\ 1&2&3&4&5&-36*&0&0&0&0\\ 1&2&3&4&5&6&-31&0&0&0\\ 1&2&3&4&5&6&5&-32&0&0\\ 1&2&3&4&5&6&5&4&-33&0\\ 1&2&3&4&5&6&5&4&3&-34\\ 1&2&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&2&3&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&2&3&4&0&0&0&0&0&0\\ 1&2&3&4&5&0&0&0&0&0\\ 1&2&3&4&5&0*&0&0&0&0\\ 1&2&3&4&5&6&5&0&0&0\\ 1&2&3&4&5&6&5&4&0&0\\ 1&2&3&4&5&6&5&4&3&0\\ 1&2&3&4&5&6&5&4&3&2\\ 1&2&3&4&5&6&5&4&3&2\\ \end{pmatrix} $$ $$ A_2 = \begin{pmatrix}2&3&4&5&6&5&4&3&2&1\\ 0&3&4&5&6&5&4&3&2&1\\ 0&0&4&5&6&5&4&3&2&1\\ 0&0&0&5&6&5&4&3&2&1\\ 0&0&0&0&6&5&4&3&2&1\\ 0&0&0&0&0&5&4&3&2&1\\ 0&0&0&0&0&0&4&3&2&1\\ 0&0&0&0&0&0&0&3&2&1\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&2&1\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\\ -36&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&-36&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&-36&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&-36&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&-36&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&-36&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&-36&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&-36&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&-36&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&-35\\ \end{pmatrix} $$ Su inversa ahora debe ser calculado y se multiplica por el vector $$ \begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-33&-30&-26&-21&-15&-10&-6&-3&-1&0&\end{pmatrix}'. $$ El $20$ésima componente del vector resultante es ahora igual a $p_{12}$, la probabilidad de Bob ganar el juego. Gracias a joriki para encontrar el método de solución y la búsqueda de un error que cometí!

Answer 1

Usted puede hacer esto mediante una cadena de Markov, pero ya que usted sólo quiere un único ganador de probabilidad (es decir, de Bob), no es necesario que toda la maquinaria y sólo puede establecer un sistema de ecuaciones lineales. Hay $2\cdot11-2=20$ no-terminal de estados puede ser en: Para cada una de las $11$ posible últimos rollos de$2$$12$, es necesario recordar si el paso anterior fue un estricto aumentar o no; a excepción de $2$ usted saber que no fue y por $12$ no le importa. Que le da $20$ variables, y se puede configurar $20$ ecuaciones para ellos mediante la propagación de cada estado. Si denotamos el ganar las probabilidades en los estados unidos como $p_\sigma^\pm$ donde $\sigma$ es la suma último laminados y $+$ indica un estricto aumentar (y $-$ su ausencia), tenemos por ejemplo

$$ p_6^-=\frac1{36}\left(1p_2+2p_3^-+3p_4^-+4p_5^-+5p_6^-+6p_7^++5p_8^++4p_9^++3p_{10}^++2p_{11}^++1p_{12}\right) $$

y

$$ p_7^+=\frac1{36}\left(1p_2+2p_3^-+3p_4^-+4p_5^-+5p_6^-+6\cdot0+5\cdot1+4\cdot1+3\cdot1+2\cdot1+1\cdot1\right) $$

(donde $0$ es de Bob probabilidad de ganar si Alicia gana y $1$ es de Bob probabilidad de ganar si Bob gana).

Bob ganadora de la probabilidad en el estado inicial es $p_{12}$ (desde el primer rollo no es un aumento, y a pesar de que ningún rollo después de $12$ es un aumento).