Una contracción del operador muestra algunos commutivity

Question

Deje $A$ $n\times n$ matriz, definimos el operador de la norma (o simplemente espectral de la norma), como $$||A||=\max_{||x||=1}||Ax||.$$ Si $||A||\leq 1$, podemos decir $A$ es una contracción.

Mostrar que $$||A||\leq 1\Rightarrow A^*(I-AA^*)^{1/2}=(I-A^*A)^{1/2}A^*.$$

Este es Bhatia, un Análisis de la Matriz, el Ejercicio I. 3.6. No tengo idea...

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que $\|A\| = \sqrt{\rho(A^*A)} = \sqrt{\rho(AA^*)} \leq 1$, por lo que el $I - A^*A$ $I - AA^*$ son de hecho positivo (semi)definitiva. Por tanto, podemos considerar PSD raíces cuadradas $(I - A^*A)^{1/2}$$(I - AA^*)^{1/2}$.

Ahora, compruebe que $$UN^*(I - AA^*) = (I - A^*A)^*$$ En este punto, la observación clave es que existe un polinomio $p$ tal que $p[(I - AA^*)] = \sqrt{(I - AA^*)}$ e $p[(I-A^*A)] = \sqrt{(I - A^*A)}$. A partir de ahí, la conclusión de la siguiente manera.