La aplicación de la equivalencia de las normas en $\mathbb R^n$ .

Question

Deje $\|\cdot\|$ ser cualquier norma en $\mathbb R^n$. Demostrar que un sequance en $\mathbb R^n$ converge a un elemento $x \in \mathbb R^n$ bajo $\|\cdot\|_2$ norma si y sólo si el sequance converge a $x$ bajo $\|\cdot\|$ norma.

Quiero decir que $c\|\cdot\| \leq \|\cdot\|_2 \leq d\|\cdot\|$ $c,d \in \mathbb R$ desde $\mathbb R^n$ es un espacio cerrado y que muestran c=d. es que de una manera correcta? ¿cómo puedo mostrar d=c?

Answer 1

Primero que todo $c$ no es igual a $d$. Si $x_n\to x$ bajo$||\cdot||_1$, para todos los $\epsilon>0$ no es un porcentaje ($N$tal que para todos los $n>N$ tenemos $||x_n-x||<\epsilon$.

A partir de ahora $$c\|x_n-x\|_2 \leq \|x_n-x ||_1 \leq d\|x_n-x\|_2$$ es claro que $$\|x_n-x\|_2 \le \frac{\epsilon}{c}$$ One can deduce that $x_n\a x$ under $\|\cdot\|_2$ y recíprocamente.