algunos básica cardenal aritmética $\text{cf}(\aleph_{\omega_1})$

Question

Estoy leyendo La Alegría de los Conjuntos de K. Devlin, por el auto-estudio. Acabo de ver una declaración de $\text{cf}(\aleph_{\omega_1})=\omega_1$ sin pruebas, pero creo que este es un poco más difícil de probar que la más obvia, $\text{cf}(\aleph_{\omega})=\omega$.

Concretamente, $\text{cf}(\aleph_{\omega_1})\le \omega_1$ es trivial, pero.. ¿qué hay de la otra dirección? Yo lo he probado y supongo que $\aleph_{\omega_1}^{\aleph_0}=\aleph_{\omega_1} $ (como el cardenal exp.) implica el resultado deseado. Cómo puedo probar el último de identidad, o hay una sencilla prueba en la cofinality?

Answer 1

Esto es una consecuencia de un hecho más general que sí:

Supongamos $\gamma$ es un ordinal límite y tengo una secuencia de números ordinales $\langle \alpha_{\eta}:\eta<\theta\rangle$, con cada una de las $\alpha_\eta<\omega_\gamma$. Entonces esto induce a una secuencia de números ordinales $\langle \beta_\eta: \eta<\theta\rangle$, cada una de las $<\gamma$, como sigue: $\beta_\eta$ es el menos $\delta$ tal que $\alpha_\eta<\omega_\delta$.

El hecho de que: si $\langle \alpha_\eta: \eta<\theta\rangle$ es cofinal en $\omega_\gamma$, $\langle \beta_\eta: \eta<\theta\rangle$ es cofinal en $\gamma$.

Establecimiento $\gamma=\omega_1$ direcciones de tu pregunta específica.

Answer 2

Supongamos que $\langle\alpha_n:n\in\omega\rangle$ es un aumento de la secuencia de cofinal en $\omega_{\omega_1}$. Para cada una de las $\xi<\omega_1$ hay un mínimo de $n(\xi)\in\omega$ tal que $\omega_\xi\le\alpha_{n(\xi)}$. Claramente hay entonces una $m\in\omega$ tales $X=\{\xi<\omega_1:n(\xi)=m\}$ es incontable, y de ello se deduce fácilmente que el $\omega_{\omega_1}=\sup_{\xi\in X}\omega_\xi\le\alpha_m<\omega_{\omega_1}$, lo cual es absurdo.

Answer 3

La pregunta ha sido contestada, pero que todavía debe ser señalado que $\aleph_{\omega_1}^{\aleph_0}=\aleph_{\omega_1}$ no es necesariamente cierto, o más bien no es comprobable, sin supuestos adicionales.

Por ejemplo, es posible que $2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega_2}$, en cuyo caso es trivial que se $\aleph_{\omega_1}^{\aleph_0}\geq\aleph_{\omega_2}$.