Por qué no puede el valor de esta integral definida?

Question

Yo estaba tratando de averiguar si $\int _0^{\infty }\:\frac{1}{\left(1+x^3\right)^{\frac{1}{2}}}dx$ converge o diverge. Me separé de él en una suma, que es

$\int _0^{1 }\:\frac{1}{\left(1+x^3\right)^{\frac{1}{2}}}dx$ + $\int _1^{y }\:\frac{1}{\left(1+x^3\right)^{\frac{1}{2}}}dx$

donde $y>1$ . He encontrado que la segunda integral de la suma converge como y tiende a infinito, pero no puedo evaluar la primera integral. Cuando me trazar el gráfico, puedo ver claramente que el área bajo la curva de $f(x)=\frac{1}{\left(1+x^3\right)^{\frac{1}{2}}}$ con una x en la $[0,1]$ es finito. Lo que está mal con esa integral?

Answer 1

Sugerencia: Deje $~t=\dfrac1{1+x^3}~$ y, a continuación, reconocer la expresión de la función beta de la nueva integral.

Answer 2

Deje $u^2 = 1+x^3 \to 2udu = 3x^2dx = 3(u^2-1)^{2/3}dx \to I = \displaystyle \int_{1}^{\sqrt{2}} \dfrac{2}{3\left(u^2-1\right)^{2/3}}du$. A continuación, puede hacer una sustitución: $u = \sec \theta$.