Michael tiene 2 spider-man juguetes,2 de hierro el hombre de juguetes, de 2 de Thor juguetes y 2 Hulk juguetes. Los juguetes que representen los mismos caracteres son idénticos. De cuántas maneras puede colocar sus juguetes en una fila de modo que el número de juguetes entre dos juguetes de la misma especie es diferente para cada tipo de juguete?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
OK aquí va... después de un poco de pensamiento (no estoy seguro de que valió la pena) tengo un conjunto manejable de los casos.
Las "separaciones" entre los pares debe ser de cuatro números diferentes de$0$$6$, habiendo incluso una suma de$6$$12$. No es demasiado difícil enumerar todas las posibilidades: nos encontramos con que con una excepción, todas cuentan $0,1$ o $2,3$ o $4,5$. La excepción es $6,4,2,0$.
Caso $0,1$: necesitamos una fila, incluyendo los componentes AA y BCB. Suponga que AA viene antes que el BCB. En el siguiente, - denota una letra desconocida, mientras que o'indica cero o más desconocida de las letras.
- Si BCB está en la final, entonces tenemos ---AABCB o ----DBCB. No es difícil ver que la primera es imposible, y el segundo puede ser completado en $3$ maneras.
- Si BCB no es al principio o al final hemos oAABCBDo o oAAoDBCBDo. La primera puede ser completado en $3$ maneras, el segundo también en $3$. Total hasta el momento, $9$ maneras.
Caso $2,3$: necesitamos una fila incluidos los componentes de Un-a y B---B. no es difícil ver que uno de los Como debe ocurrir entre el Bs, el otro, antes o después: se supone que es antes.
- El patrón de oACBA--Bo puede ser completado en $2$ maneras, pero uno incluye lagunas de $0,1$ y ya se ha contado anteriormente.
- El patrón de oABCA-Bo puede ser completado en $2$ maneras. Total hasta el momento, $12$ maneras.
Caso $4,5$: debemos tener Una----a y B-----B, con B que aparecen al principio o final: se supone que es el final. Entonces tenemos AB---ACB; puede ser completado en $3$ maneras, pero uno incluye a $0,1$ y ya ha sido contada.
Total hasta ahora $14$ maneras. Pero debido a la simetría supuestos que he hecho, cada uno de estos se podría hacer a la inversa: total, $28$ maneras. Es fácil ver que el patrón de $6,4,2,0$ puede ser realizada en una sola manera: total, $29$ maneras. Y por último, las letras S,I,T,H puede reemplazar a,B,C,D en $4!$ maneras. La respuesta Final, $29\times4!$.
Addendum. En respuesta a un comentario, la suma de las "separaciones" debe ser porque si los lugares son $a_1,a_2,b_1,b_2$ etc entonces podemos escribir la suma y simplificar el modulo $2$ para obtener $$\eqalign{|a_1-a_2|-1+|b_1-b_2|-1+\cdots &\equiv a_1-a_2-1+b_1-b_2-1+\cdots\cr &\equiv a_1+a_2+b_1+b_2+\cdots\cr Y=1+2+\cdots+8\cr Y=36\cr &\equiv 0\ .\cr}$$
vadim123
Puntos
54128
Primero, considere el problema con un solo $S,I,T$. Lo que son las distancias entre las mismas letras? Pueden ser $0+2+4$, es decir, $SITTIS$ o $1+2+3$, es decir,$SITSTI$.
Por cuatro piezas, queremos distintos no negativo particiones sumando en la mayoría de las $12$:
0+2+4+6: $HSITTISH$
1+2+3+6: $HSITSTIH$
0+3+4+5: $SITHHSTI$
1+2+4+5: $SIHTHSTI$
Estos cuatro particiones son los únicos posibles con suma $12$. La mayor parte no puede ser mayor que 6. Si la mayor parte es 6, entonces el siguiente más grande debe ser $\le 4$. La mayor parte no puede ser $4$, ya que el $1+2+3+4<12$.
Lo que queda es contar cuántos arreglos son posibles para cada caso. Ciertamente, se pueden permutar las letras ($4!$ formas para cada uno). Tres de ellos pueden ser invertidos para dar un orden diferente, y puede haber otros representantes no aparece para el permutaciones. Es necesario un cuidadoso análisis de caso que mis cinco minutos de croquis no tiene.
Como señala David en los comentarios, la suma puede ser menor que $12$. Tiene que ser aunque.
6=0+1+2+3: $HHSITSTI$
8=0+1+2+5: $SITSTHHI$
8=0+1+3+4: desconocido
otros varios, parece ser que hay muchos casos.
