Clásico de los operadores diferenciales con funciones complejas en colectores de Riemann

Question

Estoy teniendo algunos problemas para la comprensión de cómo utilizar la clásica operadores ($\nabla, \operatorname{div}, \Delta$) con funciones complejas en un colector de Riemann $(M, g)$.

Considerar la fórmula de la definición de la pendiente: $g(\nabla f,X) = \Bbb d f (X)$. Si $f$ sólo toma valores reales que todo está bien. Si $f$ toma general de valores complejos, a continuación, $\nabla f$ va a ser un campo de vectores con componentes complejos, y desde $g$ es una sección en un verdadero vector de paquete, ¿qué sentido la fórmula anterior?

Pensé acerca de complexifying la tangente del paquete (por tensorizing con $\Bbb C$), pero ¿qué debo hacer con $g$?

Si me promover a un Hermitian forma$g_{\Bbb C} (U + \Bbb i V, X + \Bbb i Y) = g(U,V) + g(V,Y) + \Bbb i \big( g(V,X) - g(U,Y) \big)$, entonces el lado derecho de la definición de la pendiente es $\Bbb C$-lineal en ambos $f$$X$, mientras que el lado derecho es sesqui-lineal, por lo que esto sería un error. Es $\nabla$ conjugado-lineal? Este sería el choque de mí.

Si, por el contrario, promocionar $g$ $\Bbb C$- forma bilineal $g_{\Bbb C}$, a continuación, la definición anterior no es contradictorio, pero si $X$ es un verdadero vector de campo, a continuación,$g_{\Bbb C} (\Bbb i X, \Bbb i X) \le 0$, lo que es una catástrofe.

Por lo tanto, cuando leo cosas como $\int f \Delta h \Bbb \; d x = - \int g (\nabla f, \nabla h) \; \Bbb d x$, es válido sólo para verdaderos valores de las funciones? Es la definición de $\nabla$ cambiado para valores complejos de funciones? Que es $g$ en esta fórmula?

Answer 1

Parece natural requieren que los operadores de $d$, $\nabla$, $\text{div}$, $\Delta$, etc., son complejos lineales y trabajar con un Hermitian métrica $g$ sobre campos vectoriales que conjugar lineal, digamos, en su segunda entrada, como la que usted describe. Entonces tenemos Hermitian $L^2$ interior de los productos en los espacios del complejo de funciones con valores de: $$ \langle f, h \rangle_{L^2, \text{functions}} := \int f \bar{h} \, dx,$$ y campos vectoriales, mediante el Hermitian pointwise métrica $g$: $$ \langle X, Y \rangle_{L^2, \text{vector fields}} := \int g(X,Y) \, dx,$$ y de manera similar para las formas diferenciales.

Si imponemos esas condiciones, entonces parece que sólo tenemos que ser un poco cuidadoso con la adición de "barras" a las fórmulas como las que usted menciona. Por ejemplo:

El gradiente $\nabla$ satisface $$ g(\nabla f, X) = df( \bar{X}),$$ donde $\bar{X}:=X_1 - i X_2$ si $X = X_1 + i X_2$ real con valores de $X_1$$X_2$. (Lo admito, esta parece divertido de alguna manera; es esto correcto? Tal vez alguien puede comentar.)

Del mismo modo, el Laplaciano $\Delta = - \text{div} \, \nabla = d^\ast d$ satisface $$ \int f \Delta \bar{h} \, dx = \int g( \nabla f, \nabla h) \, dx = \int \hat{g} (df, dh) \, dx $$ donde por $\hat{g}$ me refiero a la inducida por la Hermitian métrica en uno de los formularios. Tenga en cuenta que no hay "barra" aparece cuando nos re-escribir lo anterior como $$ \langle f, \Delta h \rangle_{L^2, \text{functions}} = \langle \nabla f, \nabla h \rangle_{L^2, \text{vector fields}} = \langle df, d h \rangle_{L^2, \text{forms}}.$$