Cómo encontrar la recta tangente desde un punto a una elipse

Question

Básicamente, me gustaría calcular la línea morada (en la imagen).

Los requisitos son que comience en el punto inferior izquierdo (25,820) o en el punto inferior derecho (simetría). Y debe tocar la elipse (como en la imagen). (No se permite cruzar|entrar en la elipse).

[Al final, tengo que conocer el punto donde las dos líneas moradas se cruzan entre sí, pero eso no es un problema. Pero para eso tengo que conocer ambos puntos de tangencia]

Creo que esto debería ser suficiente. ¿Alguien puede ayudarme a calcular el punto de tangencia?

Answer 1

Puedes encontrar puntos de tangencia con una simple construcción geométrica. Deja que $P$ sea un punto externo a la elipse, y $F$, $F'$ sean sus focos.

1. Dibuja un círculo centrado en $F'$, con radio $2a$, igual al eje mayor de la elipse.

2. Dibuja un círculo centrado en $P$, con radio $PF$; este círculo se encontrará con el otro círculo en dos puntos $M$ y $M'$.

3. Une $F'M$ y $F'M'$: estos segmentos cortan la elipse en los puntos de tangencia $Q$ y $Q'$.

En otras palabras: las tangentes $PQ$ y $PQ'$ son los bisectores perpendiculares de los segmentos $MF$ y $M'F$.

Answer 2

Veamos primero un problema más fácil: supongamos que en lugar de una elipse, tienes un círculo de radio $1$ centrado en el origen. Deja que tu punto conocido (a la derecha y por debajo del círculo) sea $(r,s)$, y considera la recta que pasa por $(r,s)$ y es tangente al círculo en $(\cos\theta, \sin\theta)$ para algún $\theta$. (Hay dos rectas tangentes; estamos interesados solo en una de ellas.)

Puedes comprobar que la recta tangente será $$x\cos\theta + y\sin\theta = 1.$$

Dado que la recta pasa por $(r,s)$, sustituye esos puntos para obtener $$r\cos\theta + s\sin\theta = 1;$$ ahora debemos resolver para $\theta$. Podemos combinar las dos funciones sinusoidales para obtener $$\sqrt{r^2+s^2}\cos\left(\theta+\tan^{-1}\left(\frac{-s}r\right)\right)=1,$$ y resolviendo para $\theta$ obtenemos $$\theta = \cos^{-1}\left(\frac1{\sqrt{r^2+s^2}}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{-s}r\right).$$

Finalmente, todo lo que queda es transformar tu problema en uno descrito aquí. Primero traslada para que la elipse esté centrada en el origen, luego escala los ejes para transformar la elipse en un círculo de radio $1$. Resuelve para $\theta$ como se describe arriba, luego invierte la escala y la traslación.

Answer 3

Dado que una elipse es solo un círculo escalado, considera primero la construcción con el círculo en el origen

y encuentra las coordenadas del punto tangencial:

\begin{align} |OB|&=\sqrt{(r+d)^2+c^2} .\\ t&=\sqrt{OB^2-r^2} ,\\ \alpha&=\arctan\tfrac{r}{t} ,\\ \beta&=\arctan\tfrac{r+d}c ,\\ T_x=|CT_1|&= c-t\,\cos(\alpha+\beta) ,\\ T_y=|TT_1|-r-d &= t\,\sin(\alpha+\beta) -r-d ,\\ \cos(\alpha+\beta) &= \frac{tc-r^2-rd}{\sqrt{t^2+r^2}\sqrt{c^2+(r+d)^2}} ,\\ \sin(\alpha+\beta) &= \frac{rc+tr+td}{\sqrt{t^2+r^2}\sqrt{c^2+(r+d)^2}} . \end{align}

¿Dado esto, puedes encontrar el punto tangencial correspondiente en la elipse?

Answer 4

Los puntos de tangencia están aproximadamente a $58$ unidades al norte del eje horizontal de la elipse y a aproximadamente $239$ unidades al este desde el punto inferior izquierdo. En tus coordenadas deberían ser $(264,467)$ el de la izquierda y $(986,467)$ el de la derecha.

El punto de intersección de la tangente debería estar aproximadamente en tus coordenadas en $(625,-66)

Espero que esto sea útil

Answer 5

Las otras respuestas te dan varias formas de calcular las rectas tangentes a través de un punto. En lugar de eso, describiré una forma simple de resolver el problema original que dices que llevó a esta pregunta. Realmente no necesitas encontrar las líneas moradas o sus puntos de tangencia explícitamente para calcular su punto de intersección.

Por simetría, el punto de intersección se encuentra en algún lugar del eje menor de la elipse. Ten en cuenta que hay dos rectas tangentes a través de cada punto externo a la elipse, por lo que deberás seleccionar las correctas en este cálculo. Para simplificar, primero traslada la elipse al origen. Su ecuación es entonces la que mencionaste en un comentario a la pregunta. Los dos puntos a través de los cuales trazamos las tangentes se transforman en $(\pm600, 295)$. Ahora, cambia a coordenadas homogéneas. Las rectas a través de estos dos puntos y un punto arbitrario $(0, y)$ en el eje $y$ son $$\mathbf l=[\pm600:295:1]\times[0:y:1]=[295-y:\pm600:\mp600y].$$ La matriz de la elipse es $C=\operatorname{diag}(380^{-2},185^{-2},-1)$ y las rectas son tangentes a la elipse cuando $$\mathbf l^TC^{-1}\mathbf l=0.$$ Sustituir cualquiera de las líneas en esta ecuación produce una ecuación cuadrática en $y$: $$380^2\cdot(295-y)^2+185^2\cdot600-(600y)^2=0$$ con soluciones $y\approx195.449$ y $y\approx-590.606$. Las dos soluciones reflejan el hecho de que hay dos rectas tangentes a través de cada punto y que dos de sus intersecciones por pares se encuentran en el eje $y$. Parece que estás interesado en el punto con la menor coordenada $y$, y al traducir eso de regreso al sistema de coordenadas original da algo así como $(625,-65.606)$ como el punto de intersección de las dos líneas tangentes.

Más generalmente, si tienes la elipse ${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1$ y puntos $(\pm x_p, y_p)$, siguiendo el procedimiento anterior resulta en la ecuación cuadrática $$(a^2-x_p^2)y^2-2a^2y_py+b^2x_p^2+a^2y_p^2=0$$ con soluciones $$y={a^2y_p\pm x_p\sqrt{b^2x_p^2+a^2y_p^2-a^2b^2}\over a^2-x_p^2},$$ siempre que $x_p\ne a$. En este último caso, dos de las rectas tangentes serán paralelas y la ecuación se reduce a $$-2a^2y_py+a^2(y_p^2+b^2)=0$$ que estoy seguro de que puedes resolver por ti mismo.

Por supuesto, una vez que sepas $y$, también tendrás la respuesta a tu pregunta más específica: sustituir su valor en la expresión de $\mathbf l$ te da las dos tangentes, y los puntos de tangencia son sus puntos polares $C^{-1}\mathbf l.