Algebra Lineal - Rango de una matriz

Question

A es una matriz$100 \times 100$.

El elemento en la fila$i^{th}$ y la columna$j^{th}$ viene dado por$i^2 + j^2$

Encontrar el rango

Answer 1

Sugerencia: demuestre que cada fila es una combinación lineal de los vectores$(1,4,9,\ldots,100^2)$ y$(1,1,1,\ldots,1)$.

Answer 2

Sugerencia: rango de suma$\le$ suma de rangos.

Answer 3

Creo que el rango es $2$.

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*: El Rango de una matriz a = Columna de rango.

Hecho 1:Cuando se realice cualquier operación de filas de la columna o de la operación de una matriz, entonces el rango de la matriz no cambia.

Ahora realizamos las operaciones de columna: Reste la primera columna de todas las columnas.

A continuación, la matriz de todos los su $i$th ($2\le i\le 100$) de la columna como $(i^2-1)(1,1,\dots,1)^t$ y la primera columna es $(1^2+1^2,2^2+1^2,\dots,100^2+1^2)^t$

Ahora todas las columnas de esta matriz es combinación lineal de las dos siguientes vectores:$\{(1^2,2^2,3^2\dots,n^2)^t,(1,1,1,\dots,1)^t\}=S$

Como todas las columnas de esta reducción de la matriz es generado por los vectores en $S$ $S$ es un conjunto linealmente independiente, la columna de rango de la reducción de la matriz es $2$. Lo que implica por Hecho 1 y el Hecho de * que el rango de la matriz es $2$

Answer 4

Insinuación:

Dejar $[B]_{ij} = i^2$, $[C]_{ij} = j^2$. Tenga en cuenta que$A=B+C$ (de hecho,$C=B^T$).

¿Qué puedes decir sobre el rango de$B,C$?

Además, note que$A$ contiene la submatriz$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$, que es invertible.

Si debemos usar Matlab (o Octave, en mi caso):

 rank(ones(100,1)*(1:100).^2+(ones(100,1)*(1:100).^2)')
 

Answer 5

El rango de la matriz$A$ es$2$. Lo he encontrado Utilicé los siguientes comandos en MATLAB:

para i = 1: 100;
para j = 1: 100;
A (i, j) = i ^ 2 + j ^ 2;
fin
fin
rango (A)