$\int{\cos(x)\cosh(x)+\sin(x)\sinh(x)}dx$

Question

Cómo evaluaría la integral: $$I=\int{(\cos(x)\cosh(x)+\sin(x)\sinh(x)})\,dx$$ Mi idea era usar: $$\cos(ix)=\cosh(x)$$ y $$\sin(ix)=i\sinh(x)$$ o expandir las cuatro funciones trigonométricas en exponenciales pero esto era muy complicado

EDITAR:

Si divido esto en dos integrales donde $I=I_1+I_2$ $$I_1=\int{cos(x)cosh(x)}dx$$ $$I_2=\int{sin(x)sinh(x)}dx$$

$$I_1=sin(x)cosh(x)-\int{sin(x)sinh(x)}dx$$ Esta segunda parte es igual a $I_2$ ¿eso significa que $$I=sin(x)cosh(x)$$

Answer 1

Sugerencia... intente diferenciar $\sin x\cosh x$

Answer 2

Su integrando no está exactamente en una forma adecuada. Es mejor que consideres las siguientes dos funciones:

$$\cos x\cosh x-i\sin x\sinh x=\cos(x+ix)=\cos(1+i)x,$$ y $$\cos x\cosh x+i\sin x\sinh x=\cos(x-ix)=\cos(1-i)x.$$

Las antiderivadas son simplemente

$$\frac{\sin(1+i)x}{1+i},\frac{\sin(1-i)x}{1-i}$$ que puedes desarrollar en términos de las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Por último, toma la suma de las partes real e imaginaria. Y ríete.

Answer 3

Creo que podría notar que tenemos $\sin x$ en el lado derecho mientras es derivado, es decir $\cos x$ en el lado izquierdo. También tenemos $\cosh x$ en el lado izquierdo mientras que es derivado, es decir $\sinh x$ en el lado derecho.

¿No crees que esto se parece mucho a lo que ocurre en la regla del producto?

Dejemos que $f(x)=\sin x$ y $g(x)=\cosh x$

Por lo tanto, la integral puede escribirse como $$\int (f'g +g'f) dx$$

Lo que simplemente equivale a $$f(x)\cdot g(x)+ C$$ al notar la regla del producto.

Por lo tanto, la respuesta a la integral es $$\sin x\cosh x +C$$

También puedes resolver una pregunta de este tipo de la abeja de integración del MIT utilizando una idea similar que es $$\int (\sin (101x) \cdot \sin^{99}x)dx$$

Answer 4

$$\int \cos(x) \cosh(x)+\sin(x) \sinh(x)dx$$ Primero divide esto en dos integrales $$\int \cos(x) \cosh(x)dx+\int \sin(x) \sinh(x) dx$$ Entonces resuelve para $\int \cos(x) \cosh(x)dx$ utilizando integración por partes y obtenemos, $$\int \cos(x) \cosh(x)dx=\frac12( \cos(x) \sinh(x)+\sin(x)\cosh(x))$$ y $$\int \sin(x) \sinh(x)dx=\frac12(\sin(x)\cosh(x)-\cos(x)\sinh(x))$$

Ahora suma ambos y obtenemos, $$\int \cos(x) \cosh(x)+\sin(x) \sinh(x)dx=\frac12( \cos(x) \sinh(x)+\sin(x)\cosh(x))+\frac12(\sin(x)\cosh(x)-\cos(x)\sinh(x))$$ $$=\frac12( \cos(x) \sinh(x)+\sin(x)\cosh(x)+\sin(x)\cosh(x)-\cos(x)\sinh(x))$$ $$=\frac12(2 \sin(x)cosh(x))$$ $$\int \cos(x) \cosh(x)+\sin(x) \sinh(x)dx=\sin(x)\cosh(x)+C$$