Problemas de suma doble

Question

Evaluar: $$\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{j^2i}{3^j(j3^i+i3^j)}$$

Sinceramente, no veo por dónde empezar con esto. Estoy seguro de que se trata de una pregunta capciosa y de que me estoy perdiendo algo muy obvio. Traté de escribir algunos términos para un fijo $j$ pero no pude detectar ningún patrón o algún tipo de serie más fácil de manejar.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Tras la simetrización con respecto al intercambio $i\leftrightarrow j$ la suma se puede reescribir como \begin{align} \frac12\sum_{i,j=1}^{\infty} \left(\frac{j^2i}{3^j(j3^i+i3^j)}+\frac{i^2j}{3^i(j3^i+i3^j)}\right)=\frac12\sum_{i,j=1}^{\infty} \frac{i\cdot j}{3^i\cdot3^j}=\frac12\left(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{3^i}\right)^2=\frac{9}{32}. \end{align}

Answer 2

Pista: Expandir en términos de fracciones parciales:

$$\frac{1}{3^j (j 3^i + i 3^j)}=\frac{1}{j 3^i 3^j}-\frac{i}{j 3^i (i 3^j + j 3^i)}\\ \implies \frac{j^2i}{3^j (j 3^i + i 3^j)}=\frac{j i}{3^i 3^j}-\frac{j i^2}{3^i (i 3^j + j 3^i)}.$$