He escuchado decir que $\mathbb{R}^4$ tiene infinitas estructuras diferenciales que no son difeomorfas entre sí y esto tiene relación con el campo de Yang-Mills. ¿Alguien puede explicarlo y darme algunas referencias?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una cuenta concisa del teorema de Donaldson que relaciona las estructuras suaves en 4-variedades con la teoría de Yang-Mills se puede encontrar en la siguiente reseña por C. Nash (sección 5). Este teorema se basa en teoremas previamente demostrados por matemáticos.
El teorema de Donaldson establece una caracterización mucho más estricta sobre las formas permitidas de la matriz de intersección de 4-variedades suavizables. (Por favor, consulte la definición de matriz de intersección en la ecuación 5.1).
En la prueba, Donaldson utilizó el hecho de que el número de singularidades en el espacio de moduli de un instantón es igual al número de eigenvalores unitarios de la matriz de intersección.
Más tarde, Donaldson investigó espacios de moduli de instantones superiores y descubrió invariantes que son sensibles a la estructura suave. Witten encontró una teoría de campo topológica (basada en el espacio de moduli de Seiberg-Witten) cuyas funciones de correlación proporcionan estos invariantes. Esto fue un gran logro, ya que era difícil calcular estos invariantes usando los métodos existentes. Las referencias a estos trabajos se encuentran en el artículo de Nash.
