$k$ - transitividad de chorro del grupo difeomorfismo

Question

Dada la conexión de un suave colector $M$ y una invertible jet $\xi \in {\rm inv} J^k_p(M,M)_q$, ¿cuáles son las condiciones necesarias para la existencia de un diffeomorphism $\phi \in {\rm Diff}(M)$ tal que $j^k_p \phi = \xi$? ¿Qué pasa si queremos $\phi$ a ser isotópico a la identidad? Dado un suave familia $\xi_\epsilon \in {\rm inv} J^k_p(M,M)_q$ podemos obtener una superficie lisa de la familia $\phi_\epsilon \in {\rm Diff}_0 (M)$?

Está claro que nos podemos encontrar en un diffeomorphism de un barrio de $p$ a un barrio de $q$, y también que debe haber algo de suave mapa de $M \to M$ contacto $\xi$, pero no tengo idea de cómo extender la antigua o hacer que éste sea un diffeomorphism. Al menos en baja dimensión se siente como la única condición debe ser que $\xi$ es de la orientación de la conservación, pero no tengo idea de cómo establecer este.

Answer 1

Creo que si asumimos $\dim(M)\geq 2$ (?) y que $M$ está conectado (o al menos que todos los componentes conectados de $M$ son diffeomorphic), entonces siempre se puede construir un adecuado diffeomorphism que es isotópico a la identidad. Yo no puedo dar una prueba plena, pero creo que puedo describir cómo conseguirlo:

La entrada principal que puedo dar es la reducción de las cosas, para el caso de que $p=q$. Esto se hace eligiendo un suave inyectiva camino de $c:[0,1]\to M$ conectar $p$$q$, entonces se extiende el campo de velocidad $c'$ a un campo de vectores en un tubular barrio de $c([0,1])$ la ruta de acceso y, a continuación, multiplicando por el golpe de la función. Esto le da un campo de vectores con soporte compacto (que por lo tanto tiene un flujo global) y está de acuerdo con el campo de velocidad localmente alrededor de la ruta elegida. Por lo tanto el flujo de este campo vectorial en el tiempo $t=1$ es un diffeomorphism (con soporte compacto) que se asigna a$p$$q$.

Componiendo con este diffeomorphism puede reducir las cosas para el caso de $q=p$, en que el trabajo con campos vectoriales se vuelve mucho más fácil. Ya que estamos hablando ahora acerca de diffeomorphisms fijación $p$, podemos utilizar el vector de campos de fuga en $p$, y cualquier germen de un campo vectorial ahora se extiende fácilmente a un mundo definido, de forma compacta compatible vector de campo, que tiene un flujo global. Ahora uno podría intentar estudiar el mapa de chorros de campos vectoriales a chorros de diffeomorphism inducida por el flujo local. La otra posibilidad sería argumentar paso a paso, mostrando siguiente que cualquiera-jet puede ser realizado por un campo de vectores y así sucesivamente.

Answer 2

Como señala Andreas podemos suponer $p=q$. Fijar un gráfico de $(U,\psi)$ $\psi(p)=0$ y deje $g : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ ser el único $k^\text{th}$ orden de polinomio tal que $j^k_p (\psi^{-1} g \psi) = \xi$. Tenga en cuenta que $g(0) = 0$ porque $\xi \in J_p (M,M)_p$. Deje $L$ ser la parte lineal de $g$. Restringir el dominio de $g$ a algunos de bolas $B_R(0)$ suficientemente pequeño como para que $g$ es una incrustación.

Definir $g : (0,1] \times B_R \to \mathbb R^n$ $g_t(x) = g(tx)/t$ y tenga en cuenta que $\lim_{t \to 0} g_t = g'(0) = L$, por lo que esta $g_t$ define una isotopía de $g$$L$. Cualquier buen camino de $L$ a la identidad en $GL(n,\mathbb R)$ (aquí tenemos la condición de que $\xi$ es de la orientación de la preservación!) es entonces una isotopía de $L$ a la inclusión del mapa de $i :B_R \to \mathbb R^n$; por lo componen estas dos isotopies tenemos un diffeotopy $f : [0,1] \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n$$g$$i$.

Ahora, vamos a $r_1,r_2 < R$ ser lo suficientemente pequeño que el origen centrada en las bolas $B_{r_1},B_{r_2}$ se encuentran dentro del $\psi(U)$ y $f(I\times B_{r_1}) \subset B_{r_2}$$^\dagger$; y definir la isotopía

$$ F : [0,1] \times \psi^{-1}(B_{r_1}) \to M$$ por $F_t = \psi^{-1} f_t \psi$. Entonces la aplicación de la isotopía de extensión del teorema (ver, por ejemplo, Hirsch sección 8.1), llegamos a un diffeotopy de $M$ que está de acuerdo con $F$ en un barrio de $p$, y por lo tanto cuyo extremo tiene jet $\xi$$p$.

$\dagger$ Podemos sacar esto adelante porque 0-fijación de los polinomios de satisfacer $g(tx) \le C t g(x)$ $t\in[0,1]$ $C$ independiente de $t$, por lo que la dilatación de la isotopía no puede hacer que la imagen de volar; y del mismo modo el camino de $GL(n,\mathbb R)$ puede ser elegido de modo que el operador de la norma acotada.