Valor esperado cuando se tira el dado$N$ veces

Question

Supongamos que tenemos una matriz con $K$ caras con los números de 1 a $K$ escrito en ella, y enteros $L$ y $F$ ($0 < L \leq K$). Que rollo es $N$ veces. Deje $a_i$ ser el número de veces (de la $N$ rollos) de que una cara con número $i$ escrito en él se acercó como la cara superior del dado.

Necesito encontrar la expectativa de que el valor de $a_1^F \times a_2^F \times \cdots a_L^F$

Por ejemplo, supongamos $N=2, K=6, L=2$ $F=1$

Entonces, podemos pasar el $6$-cara die $2$ tiempos, y estamos interesados en el valor de $a_1 \times a_2$.

Los dos únicos escenarios posibles cuando este valor no es cero, se $(1, 2)$$(2, 1)$.

Dos de ellos tienen $a_1 \times a_2 = 1$ y ocurren con una probabilidad de $1 / 36$ cada uno. Por lo $P / Q = (1 + 1) / 36 = 1 / 18$

Answer 1

Deje $A_i$ denotar el número de veces número de $i$ aparece cada número tiene la misma probabilidad de aparecer) y $\mathcal{A}$ ser el conjunto de todas las combinaciones posibles de $a\equiv(a_1,\dots,a_K)$ s.t. $\sum_{k=1}^Ka_k=N$ y cada una de las $a_k\ge 0$. A continuación, para $a\in \mathcal{A}$

$$P\{A_1=a_1,\dots,A_K=a_K\}=\frac{N!}{\prod_{k=1}^Ka_k!}K^{-\sum_{k=1}^Na_k}=\frac{K^{-N}N!}{\prod_{k=1}^Ka_k!}$$

y

$$\mathbb{E}\left[\prod_{k=1}^LA_k^F\right]=K^{-N}N!\times\sum_{\mathcal{A}}\frac{\prod_{k=1}^La_k^F}{\prod_{k=1}^Ka_k!}$$

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Edit: La fórmula anterior se puede simplificar. Suponga que $F=1$, $N\ge L$, y las correspondientes probabilidades de $(p_1,\dots,p_K)$. Entonces

$$\prod_{k=1}^Lp_k \times\frac{\partial^L}{\partial p_1\cdots \partial p_L} \left(\prod_{k=1}^Lp_k^{a_k} \right)=\prod_{k=1}^L a_k p_k^{a_k}$$

Desde

$$(p_1+\cdots+p_K)^N=\sum_{\mathcal{A}}\binom{N}{a_1,\dots,a_K}\prod_{k=1}^Kp^{a_k}$$

la diferenciación de la LHS, y darse cuenta de que $\sum_{k=1}^Kp_k=1$ rendimientos

$$\prod_{k=1}^Lp_k \times\frac{\partial^L}{\partial p_1\cdots \partial p_L}(p_1+\cdots+p_K)^N=\prod_{k=1}^Lp_k\times \prod_{n=0}^{L-1}(N-n)$$

En consecuencia, dado que $p_k=K^{-1}$, $k=1,\dots,K$,

$$\mathbb{E}\left[\prod_{k=1}^LA_k\right]=K^{-L}\prod_{n=0}^{L-1}(N-n)$$

Para $N<L$ esta expectativa es $0$ porque $a_k=0$ algunos $k=1,\dots,L$.