Una descripción de todas las funciones continuas en el espacio cociente.

Question

¿Existe algún método que nos permita describir todas las funciones continuas (mapas a $\mathbb{R}$ ) en el espacio cociente?

Por ejemplo, ¿cómo podría clasificar todas las funciones continuas sobre $\mathbb{R}/[x\sim2x]$ ?

Answer 1

Se pueden clasificar fácilmente: son las funciones constantes, cualquiera que sea el espacio topológico de Hausdorff $Z$ en el que aterrizan.

Si $f:\mathbb{R}/[x\sim 2x]\longrightarrow Z$ es continua, entonces $$ g(x):=f(\bar{x}) $$ es continua en $\mathbb{R}$ por composición con la suryección canónica $x\longmapsto \bar{x}$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}/[x\sim 2x]$ .

Entonces para cada $x$ $$ g(x)=g\left(\frac{x}{2}\right)=\ldots=g\left(\frac{x}{2^n}\right)\qquad\forall n\geq 1. $$ Dejar $n$ tienden a $+\infty$ y utilizando la continuidad en $0$ obtenemos $$ g(x)=g(0)\quad\forall x\in\mathbb{R}. $$ Así que $g$ Por lo tanto $f$ es constante.

La inversa es clara: toda función constante en el espacio cociente es continua.

Answer 2

Sea $Y=X/\sim$ sea un espacio cociente equipado con la topología cociente. $f:Y\to \mathbb{R}$ es continua si y sólo si $f \circ \pi$ es continua, donde $\pi:X\to Y$ es el mapa cociente natural. La razón es $U\subseteq Y$ es abierto en la topología del cociente si y sólo si $\pi^{-1}(U)$ está abierto en $X$ .

Answer 3

Digamos que su cociente está descrito por una relación $\rm R$ . Entonces el Propiedad universal de la topología cociente te dice que hay una biyección $$ \text{ continuous functions on } \mathbb R/\mathrm{R} \longleftrightarrow \mathrm{R}-\text{invariant continuous functions on } \mathbb R.$$

Dónde $\rm R$ -significa que $f(x) = f(y)$ cuando $x \sim_{\rm R} y$ .