Demostrar que en un cuadrilátero, las líneas uniendo los puntos medios de los lados opuestos y los puntos medios de las diagonales son concurrentes.
Se construye un cuadrilátero arbitrario $ABCD$ $E, F, G$ como los puntos medios de $AB, BC, CD$. Deje $H, I$ ser los puntos medios de $AC, BD$. Deje $EG, HI$ se cruzan en $J$. Vamos a la línea que une la $F, J$ cumplir $AD$$K$. Vamos a probar que $K$ es el punto medio de la $DA$.
Unirse a $KG, GF, FE, EK$, rápidamente se hace evidente que lo anterior sólo es verdad si $KGFE$ es un paralelogramo, que a su vez, sólo es cierto si $EJ = JG, KJ = JF$. Demostrando la primera igualdad es fácil.
En $\Delta ABC, EH || BC, 2\cdot EH = BC$. Asimismo, en $\Delta DBC, IG || BC, 2\cdot IG = BC$. Por lo tanto, $IG||EH, IG=EH$. Por lo tanto, $EHGI$ es un paralelogramo y $EJ = JG$. Incluso después de numerosos esfuerzos, no he podido probar la segunda igualdad.
Me di cuenta de que esto era debido a que yo no estaba utilizando el hecho de que $F$ es el punto medio de la $BC$ y $FK$ es la línea recta.
Así, la utilización de esos hechos, que yo consideraba $\Delta HKJ, \Delta JFI$. Resultando estas son congruentes probará nuestra conjetura. Ahora, podemos usar el hecho de que $FK$ es una línea recta diciendo, que $\angle HJK = \angle IJF$. También, desde la $EHGI$ es un paralelogramo, $HJ = JI$. Ahora solo nos falta uno más de equivalencia para demostrar la congruencia. Yo no era capaz de encontrar esto.
Una manera de utilizar el hecho de que $F$ es el punto medio de la $BC$ es de notar que a $EHCF, IGFC, AHFE, FIDG$ son todos los paralelogramos. Tengo, sin embargo, ninguna idea de cómo el uso de estos en la prueba.
Creo que me estoy olvidando de algo. Porque en cada enfoque, siempre hay una sola pieza que falta. Si alguien podría señalar lo que esta 'pieza' es, le estaría agradecido. Agradecería soluciones que están relacionados con los enfoques descritos anteriormente.
