Curvatura principal del toro plano.

Question

Estoy mirando el de Hopf-fibration y estoy buscando en la preimagen del ecuador en $\mathbb{S}^2$. Creo que he demostrado que esto es sólo el plano de toro y ahora quiero calcular las curvaturas principales de este toro. Mi enfoque general para el problema ha sido:

Considero $\mathbb{R}^4$ $\mathbb{C}^2$ $\mathbb{S}^3$ a "el círculo unidad" en este "plano", cada punto en el círculo determina una línea a través del origen. Y las líneas a través de la origion intersecta a la esfera en un único círculo. La asignación de $\mathbb{S^3}$ en el espacio de las líneas a través de la origion me da en un mapa a $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ que me diffeomorphically identificar con $\mathbb{S}^2$. La preimagen de cualquier punto de $(z_1:z_2)$ $\mathbb{S}^3$ es sólo el círculo de $\frac{z_1}{z_2}=z$. De ahí la preimagen del ecuador es de todos los círculos de satisfacciones $\frac{|z_1|}{|z_2|}=1$, yo.e $|z_1|=|z_2|$, por lo tanto la preimagen es un producto de dos círculos, yo.e un toro.

Desde mi toro es sólo $S^1\times S^1$ $\mathbb{C}\times \mathbb{C}$ está equipado con el producto de la métrica, y por lo tanto en este caso plano.

Ahora estoy atascado, aquí hay dos maneras me gustaría ir hacia adelante:

El cálculo de la Weingarten mapa. Mediante la parametrización de la $(e^{i\theta },e^{i\psi })$, ¿cuál es la dirección normal dentro de $\mathbb{S}^3$?

También he tratado de buscar en la curvatura normal de las curvas en $S^1\times S^1$ son solo los "círculos de envoltura alrededor del toro" a los más pequeños curva más entonces el más grande? Esta forma de pensar me daría principal de la curvatura de la $1$ y algo dependiendo de donde en el toro me $-1$ en el "círculo interno"?

Answer 1

Un vector normal (de las dos posibles unidades) de$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{S}^3$ en el punto$(e^{i \theta},e^{i\psi})$ es el vector$$\eta(\theta,\psi) := \frac{(e^{i \theta},-e^{i\psi})}{\sqrt{2}} \, .$$ Indeed, the scalar dot product of two vectors $ \ mathbb {v} = (v_1, v_2), \ mathbb {w} = (w_1, w_2)$ in $ \ mathbb {C} ^ 2$ is given by $$\mathbb{v} \cdot \mathbb{w} = real(v_1 \bar{w_1} + v_2.\bar{w_2}) \,. $ $ Para ver que$\eta(\theta,\psi)$ hace el trabajo, simplemente note que lo normal el espacio de$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{C} \times \mathbb{C} =\mathbb{C}^2$ en el punto$(\theta,\psi)$ se extiende por los dos vectores$$(e^{i\theta},0) \, \, , \, \, (0,e^{i\psi})$ $

por lo tanto, solo necesita buscar una combinación lineal de estos dos perpendiculares a la normal de la esfera, que es el vector de posición$\mathbf{p} = (e^{i \theta},e^{i\psi})$.