Resolviendo esta ecuación reduciéndola a la ecuación de Bessel.

Question

Pregunta: Resuelva la ecuación diferencial$ 4 \frac{d^2y}{dx^2}+9xy=0 $ reduciéndola a la ecuación de Bessel.

¿Qué he intentado hasta ahora?

Sé que una ecuación de Bessel estándar es$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0$ $

Intenté usar$ t^2-n^2=9x$ para continuar con el problema pero no estoy llegando a ninguna parte.

¿Amablemente dime cómo abordar este problema?

Answer 1

Primero, para obtener los términos de$y'$, sustituimos con$s = x^n$. Luego tenemos ($\mathrm d \!*\!/\mathrm d\bullet$ se anota como$*_\bullet$)$$y_x = nx^{n-1}\,y_s,\quad\text{and}$ $$$ y_{xx} = n(n-1)x^{n-2}\,y_s + (nx^{n-1})^2 y_{ss}.$ $ Poner esto en la ecuación original,$$4n(n-1)x^{n-2}\,y_s + 4(nx^{n-1})^2 y_{ss} + 9xy = 4n^2s^{\frac{2n-2}{n}} y_{ss} + 4n(n-1)s^{\frac{n-2}{n}}y_{s} + 9s^{\frac 1 n} y = 0.$ $ Aquí, si establecemos$n = \frac 3 2$, la ecuación se convierte en$$9s^{\frac 2 3}y_{ss} + 3 s^{-\frac 1 3}y_s + 9s^{\frac 2 3}y = 0,\qquad \therefore 3sy_{ss} + y_s + 3sy = 0.$ $ Ahora deje que$y = s^k u$ obtenga la forma de la ecuación de Bessel de modo que ($y_s = ks^{k-1}u + s^k u_s$ y$y_{ss} = k(k-1)s^{k-2}u + 2ks^{k-1}u_s + s^k u_{ss}$)$$3s(k(k-1)s^{k-2}u + 2ks^{k-1}u_s + s^k u_{ss}) + (ks^{k-1}u + s^k u_s) + 3s\,s^{k}u = 0,$ $$$3s^{k+1} u_{ss} + (1+6k)s^k u_s + (3s^{k+1} + (3k^2 -2k)s^{k-1} )u = 0,$ $$$3s^{2} u_{ss} + (1+6k)s u_s + (3s^{2} + (3k^2 -2k) )u = 0.$ $ Finalmente, elija$k$ para que$1+6k = 3$ ($k = 1/3$) y luego$$s^2 u_{ss} + s\,u_s + \left(s^2 - \frac 1 9\right)u = 0.$ $

Answer 2

Consulte la función de Airy y su conexión a funciones de Bessel. Según el citado fórmulas, es necesario establecer $$ y(x)=x^{1/2}f(x^{3/2}), $$ entonces $$ y'(x)=\frac12x^{-1/2}f(x^{3/2})+\frac32xf'(x^{3/2}),\\~\\ y"(x)=-\frac14x^{-3/2}f(x^{3/2})+\frac32f'(x^{3/2})+\frac94x^{3/2}f"(x^{3/2})=-\frac94x^{3/2}f(x^{3/2}) $$ así que con $t=x^{3/2}$ $$ t^2(f"(t)+f(t))=\frac19f(t)-\frac32tf'(t). $$