Me había llegado a través de una pregunta en la que participan encontrar polinomios (con coeficientes reales) que satisface los criterios de la división se indicó anteriormente. Por inspección, era fácil ver que los polinomios como $x$, $x^2$, $x^3$, etc. satisfecho. Así que me fui a probar una más general polinomio $f (x)=ax^n $ , y funcionó. Pensé que si yo soy capaz de demostrar que $f (x)$ no puede tener un valor distinto de cero de la raíz, a continuación, sería suficiente. A pesar de que he encontrado una solución que utiliza la "asunción-contradicción' método (suponiendo que $f (x)$ tiene un no-cero de la raíz y mostrando una contradicción), pero me preguntaba que existe una técnica que nos permiten resolver la pregunta (o preguntas del mismo tipo) sin tener que adivinar la respuesta en primer lugar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vamos a probar que todas las soluciones son de la forma $ax^n$, donde $n\in \mathbb{N}_0$ e $a\in \mathbb{R}$.
Decir exsist $a_1\ne 0$ tal que $f(a_1)=0$. Luego exsist $x_1\in \mathbb{C}$ tal que $x_1^2+x_1+1=a_1$ e $|x_1-1|>1$.
Tal $x_1$ exsist puesto que la ecuación $x^2+x+1-a=0$ tiene dos soluciones $x_1,x_2$ para que $x_1+x_2=-1$. Si $|x_i-1|\leq 1$ por cada $i$, entonces tenemos por el triángulo de la desigualdad: $$2\geq |x_1-1|+|x_2-1|\geq |x_1+x_2-2| = 3$$
Pero entonces tenemos $$f(x_1^3-1) = k(x_1)f(a_1)=0$$ so $$a_2= x_1^3-1$$ is another root for $f$ and we can procede like this to get $a_3, a_4,...$. Desde $$|a_2| = |x_1-1||a_1|>|a_1|$$ no two member of this sequence are equal.So we have infinite number of roots for $f$ lo cual es una contradicción.
