cómo encontrar:
$\max \left\{ \operatorname{rank}((A+B)^2) : A,B \in \mathbb R^{2n,2n} \wedge \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \le n \right\}$
Supongo que no es necesario para demostrar algunos teoremas adicionales. Uno de ellos creo que me dieron:
$$ \operatorname{rank} A^2 \le \operatorname{rank} A$$
Tome $x \in \ker A$
a continuación, $Ax=0$
Ok, ahora vamos a multiplicate desde el lado izquierdo:
$$ A^2x=A\cdot 0 = 0 $$
por lo $$\ker A \subset \ker A^2$$
y el resultado de la siguiente manera.
Pero no sé cómo lidiar con la suma de $A,B$:(
$$ $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $\def\col{\mathrm{col}} \col(A)$ denotar la columna espacio de $A$, luego tenemos a $\def\rank{\mathrm{rank}} \rank(A) =\dim\col A$, y
$$\col(A+B) \ \subseteq\ \col A+\col B$$
así que tenemos $\rank(A+B)^2\le\rank(A+B) \le\rank(A)+\rank(B)\le n$.
Entonces tenemos que encontrar particular $A,B$ que satisfacen las condiciones y $\rank(A+B)^2 =n$.
(Para simplificar, se puede incluso llevar a $B=0$.)
