Muestran que

Question

Estoy tratando de resolver los problemas en el libro de Atiyah y MacDonald. Quiero verificar mi solución para el problema 2.6.

Este es el ejercicio de la declaración:

2.6. Para cualquier $A$-módulo de $M$, vamos a $M[x]$ denota el conjunto de todos los polinomios en la $x$ con coeficientes en $M$. Define el producto de un elemento $A[x]$ y un elemento de $M[x]$ en la forma obvia, muestran que $M[x]$ es $A[x]$-módulo.

Mostrar que $M[x] \cong A[x] \otimes_{A} M.$

Esto es lo que he intentado: (sencillo, que $M[x]$ es $A[x]$-módulo)

Claramente, $M[x]=\oplus_{n=0}^{\infty} Mx^n$ e $A[x]=\oplus_{n=0}^{\infty} Ax^n.$ Además, $Ax^n \cong A$ como $A$-módulos, $Mx^n \cong M$ como $A$-módulos de e $A \otimes_{A} M \cong M$ como $A$-módulos. Por lo tanto $$A[x] \otimes_{A} M \cong \oplus_{n=0}^{\infty} ((Ax^n)\otimes_{A}M) \cong \oplus_{n=0}^{\infty} (A\otimes_{A}M) \cong \oplus_{n=0}^{\infty} M \cong \oplus_{n=0}^{\infty} (Mx^n) = M[x].$$

Final.

No sé si la solución es correcta, ya que creo que el isomorphisms estoy usando para probar que podría ser necesaria para ser como $A[x]$-módulos y no como $A$-módulos. Lo que podría ser otra solución para este problema? En MSE sólo he encontrado el problema de $A$-álgebras, pero no para $A$-módulos.

Gracias de antemano!

Answer 1

Como un $A$-módulo, $M[x] \cong \oplus_{i \in \mathbb N}Mx^i$. Definir la acción en $M[x]$ por $A[x]$ como $(\sum a_ix^i)(\sum m_j x^j)=\sum(\sum_{i+j=k} a_im_j).$ a Continuación, asegúrese de que todos los axiomas de una $A[x]$-módulo está satisfecho (distributividad, la asociatividad.)

A continuación, defina $\phi :M[x]\rightarrow A[x]\otimes_A M$ por $\phi(\sum m_j x^j)=\sum(x^j\otimes m_j).$ Comprobar si esto es $A[x]$-lineal.

Luego, se definen $\bar{\psi}:A[x]\times M\rightarrow M[x]$ por $\bar{\psi}(\sum a_ix^i,m)=\sum (a_im)x^i.$ Esta es, obviamente, bilineal, y corresponde a un mapa de $\psi:A[x]\otimes_A M\rightarrow M[x].$ Check $\psi$ e $\phi$ son inversos el uno al otro.