Media geométrica de una v.r. con distribución de Fréchet

Question

Quiero calcular la media geométrica de una variable aleatoria $X\sim\mathrm{Fr\acute{e}chet}(\nu=1,s>0,m=0)$ donde la media geométrica de un v.r. continuo no negativo $X$ se define como $GM(X):=\exp\{\mathbb{E}[\ln(X)]\}$ (referencia para el Distribución de Fréchet ).

He calculado la FCD de $\ln(X)$ como $$F_{\ln(X)}(x)=\exp\{-s\,e^{-x}\}, ~x>0,$$ y si diferenciamos la CDF anterior obtenemos la pdf $$f_{\ln(X)}(x)=s\,\exp\{-s\,e^{-x}-x\},~x>0.$$ Ahora me gustaría calcular $$\mathbb{E}[\ln(X)]=\int\limits_{0}^{\infty}\ln(x)\,s\,\exp\{-s\,e^{-x}-x\}\,\mathrm{dx}.$$ Creo que la solución es $$\mathbb{E}[\ln(X)]=\ln(s)+\gamma,$$ donde $\gamma$ es el Constante de Euler-Masceroni . Una simulación rápida confirma este resultado. Sin embargo, me gustaría calcularlo analíticamente de alguna manera.

Tal vez también hay otra forma completa de encontrar esta media geométrica, ¿alguna idea?

Answer 1

La media geométrica de una variable aleatoria con distribución Fréchet $X$ con densidad de probabilidad $$ f(x | s) = s x^{-(s+1)} \mathrm{e}^{- (x^{-s})} $$ viene dada por la fórmula $$ \mathrm{GM}(X) = \exp\left( \int\limits_{0}^{\infty} \ln(x) \cdot f(x | s) \,\mathrm{d}x \right) \;. $$ Utilicemos la sustitución $t = x^{-s}$ y la identidad $\gamma = -\int\limits_{0}^{\infty} \ln(t) \cdot \mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t$ para calcular primero $$ \begin{eqnarray} \mathrm{E}(\ln(X)) &=& \int\limits_{0}^{\infty} \ln(x) \cdot f(x | s) \,\mathrm{d}x \\ &=& \int\limits_{0}^{\infty} \ln(x) \cdot s x^{-(s+1)} \mathrm{e}^{- (x^{-s})} \,\mathrm{d}x \\ &=& \int\limits_{0}^{\infty} \ln(t^{-\frac{1}{s}}) \cdot \mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t \\ &=& -\dfrac{1}{s} \cdot \int\limits_{0}^{\infty} \ln(t) \cdot \mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t \\ &=& \dfrac{\gamma}{s} \;. \end{eqnarray} $$ Ahora, exponenciamos este resultado para obtener la media geométrica: $$ \mathrm{GM}(X) = \exp\left( \dfrac{\gamma}{s} \right) \;. $$