Distancia esperada al cuadrado de un paseo aleatorio sobre una rejilla hexagonal infinita

Question

Hice un examen de probabilidad y esa era una de las preguntas:

Tenemos una cuadrícula infinita de hexágonos como ésta:

Cada arista tiene una longitud de 1 y todos los grados son 120°.

Hay una partícula en uno de los vértices y cada segundo se desplaza aleatoriamente a uno de sus vecinos.

Después de n segundos, ¿cuál es la distancia esperada al cuadrado de la partícula desde su posición inicial?

Le dediqué mucho tiempo, pero la verdad es que no tengo ni idea de cómo enfocar esta pregunta.

Answer 1

Sea $(Z_n)$ ser i.i.d. $\mathbb{C}$ -variables aleatorias que tienen la ley $ \mathbb{P}(Z_n = -\omega^k) = \frac{1}{3}$ para cualquier $ k \in \{ 0, 1, 2 \}$ donde $\omega = e^{2\pi i/3}$ . Utilización de la $90^{\circ}$ -rotación de la red en la figura de OP, la $n$ -ésima etapa $X_n$ del paseo aleatorio iniciado en $0$ se puede realizar como

$$ X_n = \sum_{k=1}^{n} Z_1 \cdots Z_k. $$

Entonces la expectativa de la distancia cuadrada desde el punto de partida es

\begin{align*} \mathbb{E}[|X_n|^2] &= \mathbb{E}[X_n \overline{X_n}] \\ &= \sum_{j,k=1}^{n} \mathbb{E}[(Z_1\cdots Z_j)\overline{(Z_1 \cdots Z_k)}] \\ &= n + \sum_{1 \leq k < j \leq n} \underbrace{\mathbb{E}[Z_{k+1}\cdots Z_j]}_{=0} + \sum_{1 \leq j < k \leq n} \underbrace{\mathbb{E}[\overline{Z_{j+1}\cdots Z_k}]}_{=0} \\ & = n. \end{align*}

A continuación se muestra una simulación con 2.500 muestras de $X_{100}$ verificando numéricamente el cálculo anterior.