Enumeración de los racionales de Stein-Shakarchi

Question

El ejercicio es de Stein-Shakarchi Real de Análisis (Capítulo 1, ex. 24). Se pregunta sobre una enumeración de los racionales $\left\{r_{n}\right\}_{n\geq 1}$ tal que el complemento de $\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left(r_{n}-\frac{1}{n},r_{n}+\frac{1}{n}\right)}$ $\mathbb{R}$ no está vacía.

Mientras, yo entiendo que probablemente necesitemos algunos enumeración de los racionales tales que la única racionales fuera un fijo delimitada intervalo son de la forma $r_{m^{2}}$ algunos $m$, estoy teniendo problemas para ver cómo conseguir una enumeración.

Como siempre, la ayuda es muy apreciada :)

Answer 1

Revisión de algunos irracionales $\alpha$ y cualquier enumeración $\{q_n:n\in\Bbb Z^+\}$ de los racionales. Vamos a construir una nueva enumeración $\{p_n:n\in\Bbb Z^+\}$ $\Bbb Q$ de tal manera que para cada $n\in\Bbb Z^+$, $\alpha\notin(p_n-\frac1n,p_n+\frac1n)$.

Deje $n_1=\min\{n\in\Bbb Z^+:|q_n-\alpha|\ge 1\}$, y deje $p_1=q_{n_1}$; claramente $\alpha\notin(p_1-1,p_1+1)$. Deje $Z_1=\Bbb Z^+\setminus\{n_1\}$, el conjunto de índices de racionales todavía no re-enumerar.

Ahora supongamos que ya hemos definido $p_1,\dots,p_m$$Z_m$. Vamos $$n_{m+1}=\min\left\{n\in Z_m:|q_n-\alpha|\ge\frac1{m+1}\right\}\;,$$ and set $p_{m+1}=q_{n_{m+1}}$ and $Z_{m+1}=Z_m\setminus\{n_{m+1}\}$. Clearly $p_{m+1}$ is distinct from $p_1,\dots,p_m$ and $$\alpha\notin\left(p_n-\frac1n,\,p_n+\frac1n\right)\;.$$

Todo lo que queda es probar que cada racional es, finalmente, enumera como $p_n$ algunos $n\in\Bbb Z^+$. Que se deduce del hecho de que en cada etapa se llevó el primer racional disponible en la enumeración original; yo voy a dejar a usted para rellenar los datos, a menos que usted consigue pegado y pedir ayuda.

Answer 2

Creo que la forma en que este problema estaba destinado a ser resuelto es como sigue, a pesar de que es similar a uno anterior. Y es corto. Se denota todos los racionales en $[0,1]$ $\{p_{n}\}$ y los de $\mathbb{R}-[0,1]$$\{q_{n}\}$. Ahora vamos a construir $\{r_{n}\}$ como sigue: si n es un cuadrado de un número entero, tomamos la siguiente en la $\{q_{n}\}$; de lo contrario, se toma el siguiente un de $\{p_{n}\}$. Es fácil la prueba de que $\cup(r_{n}-\frac{1}{n},r_{n}+\frac{1}{n})\subset[-1,2]\cup(\cup(q_{n}-\frac{1}{n^{2}},q_{n}-\frac{1}{n^{2}}))$. Tomar sumatoria vamos a encontrar el lado derecho tiene medida finita.

Answer 3

Sólo por diversión, aquí está un método diferente:

Vamos $r_1=2$, $r_2=3$, y $r_3=4$.

Enumerar los racionales en $[0,1]$$\{q_k\}_{k\ge 4}$. Para$k\ge4$,$r_{2^k}=q_k$. Definir el resto de $r_n$ en una manera arbitraria.

A continuación, la medida de $[0,1]\setminus \bigcup\limits_{n=1}^\infty(r_n-{1\over n}, r_n+{1\over n})$ es de no menos de $$\Bigl(1-2\sum\limits_{k=4}^\infty {1\over 2^k}\Bigr)- {1\over 4}- {1\over 5} ={3\over 10}.$$

Answer 4

Siguiendo su idea, enumerar los racionales en $[0,1)$ $r_n$ y enumerar $\mathbb Z$$z_n=(0, 1, -1, 2, -2, \ldots)$. A continuación, podemos enumerar todos los racionales como $(r_0+z_0, r_1+z_0, r_0+z_1, r_2+z_0, r_1+z_1, r_0+z_2, \ldots)$ como en la prueba de que los pares de productos naturales son contables. Ahora si usted se considera una unidad de intervalo, decir $[4,5)$, usted debería ser capaz de convencerse de que los racionales en ese intervalo se espacian cuadráticamente lejos. Usted tiene que preocuparse acerca de los efectos colaterales de la vecina intervalos, pero se puede minimizar mediante la adopción de uno lo suficientemente lejos del origen.