Es

Question

Tengo que probar o refutar la siguiente:

Si $f$ es dos veces diferenciable con un valor real de la función en la línea real tal que $|f(x)| \le 1$ e $|f''(x)| \le 1$ para todos los $x$, a continuación, $|f'(x)| < \sqrt{2}$ para todos los $x$.

He intentado utilizar $(f'(x)^2)' = 2f'(x)f''(x)$, lo que implica $-2f'(x) \le 2f'(x)f''(x) \le 2f'(x)$. Luego estaba tratando de utilizar la anti derivada, pero aquí es donde me quedo atascado.

Cualquier ayuda o pega sería apreciada.

Answer 1

Digamos que tenemos un $a$ tal que $f'(a)=\sqrt2$. Desde $|f''(x)|\leq 1$, el triángulo con esquinas en $(a\pm\sqrt2,0)$ e $(a, \sqrt2)$ debe estar por debajo de la gráfica de $f'$ (intuitivamente obvio, pero sigue con rigor del valor medio teorema). Usando el teorema fundamental del cálculo, ¿qué dice esto acerca de la $f(a+\sqrt2)-f(a-\sqrt2)$?

La prueba de la imposibilidad de $f'(a)=-\sqrt2$ es completamente análogo. Como es prueba alguna de que los $|f'(x)|>\sqrt2$ no puede suceder, a pesar de que también se sigue del teorema del valor intermedio.