PMF de tirar un dado 4 veces.

Question

Tiramos una feria de 6 caras morir de forma independiente, de cuatro tiempos y dejar de $X$ denotar el valor mínimo laminado.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que $X \ge 4$?

2. Calcular la FUERZA de $X$.

3. Determinar la media y la varianza de $X$.

Mi intento:

1. $(1/2)^4$ , porque eso significa que cada una de las $4$ rollos, usted puede obtener un $4, 5$ o $6$.

2. para $X=1: (1/6)(6/6)(6/6)(6/6)$
   para $X=2: (1/6)(5/6)(5/6)(5/6)$
   para $X=3: (1/6)(4/6)(4/6)(4/6)$
   para $X=4: (1/6)(3/6)(3/6)(3/6)$
   para $X=5: (1/6)(2/6)(2/6)(2/6)$
   para $X=6: (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)$
   

3. Puedo calcular esta vez sé que lo hice el PMF correctamente

Did I do (1) y (2) correctamente?

Answer 1

Tiramos una feria de 6 caras morir de forma independiente, de cuatro tiempos y dejar de $X$ denotar el valor mínimo laminado.

¿Cuál es la probabilidad de que $X \ge 4$?

Para cada lanzamiento, el valor debe ser mayor que tres. Este evento tiene probabilidad de $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Como esto debe ocurrir en cada una de las $4$ rollos, tenemos: $$P(X\ge4)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$$

Calcular la FUERZA de $X$.

$$P(X=1)=P(X>0)-P(X>1)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^4=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}$$

$$P(X=2)=P(X>1)-P(X>2)=\left(\frac{5}{6}\right)^4-\left(\frac{4}{6}\right)^4=\frac{625}{1296}-\frac{256}{1296}=\frac{369}{1296}$$

$$P(X=3)=P(X>2)-P(X>3)=\left(\frac{4}{6}\right)^4-\left(\frac{3}{6}\right)^4=\frac{256}{1296}-\frac{81}{1296}=\frac{175}{1296}$$

$$P(X=4)=P(X>3)-P(X>4)=\left(\frac{3}{6}\right)^4-\left(\frac{2}{6}\right)^4=\frac{81}{1296}-\frac{16}{1296}=\frac{65}{1296}$$

$$P(X=5)=P(X>4)-P(X>5)=\left(\frac{2}{6}\right)^4-\left(\frac{1}{6}\right)^4=\frac{16}{1296}-\frac{1}{1296}=\frac{15}{1296}$$

$$P(X=6)=P(X>5)-P(X>6)=\left(\frac{1}{6}\right)^4-0=\frac{1}{1296}$$

Answer 2

1) ahora es correcta después de su edición basada en la de Daniel comentario.

2) es incorrecta ya que a) no suma de a 1 y b) $X = 4, 5, 6$ no se suma a lo que tienes en 1).

Mi aproximación a esta cuestión es romper hacia abajo en un montón de problemas más simples como tal:

Para $P(X=1)$, vamos a considerar el $4$ dados dados $1, 2, 3, 4$. Hay $4$ posibilidades, el resultado puede tener $1,2,3,$ o $4$ queridos.

• $1$ uno: ${4 \choose 1} (\frac{1}{6})^1(\frac{5}{6})^3$
• $2$ : ${4 \choose 2} (\frac{1}{6})^2(\frac{5}{6})^2$
• $3$ : ${4 \choose 3} (\frac{1}{6})^3(\frac{5}{6})^1$
• $4$ : ${4 \choose 4} (\frac{1}{6})^4(\frac{5}{6})^0 = (\frac{1}{6})^4$

La suma de los de arriba le dará el $P(X=1)$.

Del mismo modo, se puede solucionar para el resto. Asegúrese de que el final de resultados de sumas de dinero a $1$ e $P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = (\frac{1}{2})^4$.