¿Cuántos números triangulares tienen exactamente $d$ ¿divisores?

Question

Los números triangulares $T_n$ se definen por $$T_n = \frac{n(n + 1)}{2}.$$

Dado un número entero positivo $d$ cuántos números triangulares tienen exactamente $d$ divisores, y con qué frecuencia se dan estos números?

Para $d = 4, 8$ la respuesta parece ser "infinitamente muchos, y a menudo"; porque $d = 6$ , es parece ser "infinitamente muchos, pero raramente"; y para $d \geq 3$ prime la respuesta es "ninguna" (creo que puedo demostrarlo). Dado $d$ tal que hay infinitos números triangulares de este tipo, ¿podemos decir algo sobre los espacios asintóticos entre ellos?

Aquí hay un gráfico del número de divisores de $T_n$ como $n$ oscila entre $0$ a $50,000$ :

La OEIS contiene algunas secuencias relacionadas con esta cuestión, a saber A292989 y A068443 pero no puedo aprender lo suficiente de los comentarios para resolver esta cuestión de forma arbitraria $d$ .

Editar: El reclamo de "ninguno" para el prime $d$ sólo se mantiene cuando $d > 2$ como señaló @BarryCipra.

Answer 1

Esta es una respuesta parcial. Escriba $\sigma_0(k)$ para el número de divisores de $k$ . Tenga en cuenta que $n$ y $n+1$ son relativamente primos. Si $\sigma_0(T_n)$ es impar, entonces $n$ es par y ambos $\frac{n}{2}$ y $n+1$ son cuadrados o $n$ es impar y ambos $n$ y $\frac{n+1}{2}$ son cuadrados (nótese que en particular esto implica que en el primer caso $n\equiv 0\mod{8}$ y en el segundo $n\equiv 1\mod{8}$ ). Simplificando, se ve que los valores impar de $\sigma_0(T_n)$ surgen de las soluciones de la ecuación de Pell $$a^2-2b^2 = \pm 1.$$ Así que hay un número infinito de $n$ para lo cual $\sigma_0(T_n)$ es impar. Sin embargo, como $\sigma_0$ es multiplicativo, $\sigma_0(T_n)$ no puede ser primo a menos que $n=2$ .

A continuación, observe que $\sigma_0(T_n)=4$ significa que $n$ es par y $\sigma_0\left(\frac{n}{2}\right) = \sigma_0(n+1) = 2$ o $n$ es impar y $\sigma_0(n) = \sigma_0\left(\frac{n+1}{2}\right) = 2$ . Así, $\sigma_0(T_n)=4$ si y sólo si $\frac{n}{2}$ y $n+1$ son ambos primos o si $n$ y $\frac{n+1}{2}$ son ambos primos. El primero de ellos es A005097 el segundo es A006254 .

Un análisis similar muestra que $\sigma_0(T_n)=6$ requiere que uno de los dos factores (es decir, o bien $\frac{n}{2}$ y $n+1$ o $n$ y $\frac{n+1}{2}$ ) sea primo y el otro sea el cuadrado de un primo, por lo que los valores de $n$ debajo de $200$ son $n=7, 9, 17, 18, 25, 97, 121$ . Estos son presumiblemente más raros que los valores de $\sigma_0(T_n)=4$ .

En respuesta al comentario del OP más abajo, para impar fijo $d$ ambos factores deben ser cuadrados para que $\sigma_0$ ser impar para cada uno. Si $T_n = 2\prod p_i^{2r_i}$ entonces usted está buscando una manera de escribir $\prod p_i^{2r_i} = \prod p_i^{2s_i}\prod p_i^{2t_i}$ tal que $\prod(s_i+1)\prod(t_i+1) = d$ . Esto no parece un problema con una solución directa en general.