Invertir una matriz de bandas simétrica.

Question

Estoy interesado en la inversión simétrica de bandas de la matriz con la siguiente estructura:

$$\begin{equation}\mathbf A(\epsilon)= \left(\begin{array}{*{20}c} 2+\epsilon &0 & -1&0 &0&0& -1&0\\ 0 &2+\epsilon & 0 &-1 &0&0&0&-1\\ -1 &0 & 2+\epsilon&0 & -1&0&0&0\\ 0 &-1 & 0&2+\epsilon &0& -1&0&0\\ 0 &0 & -1&0 &2+\epsilon&0& -1&0\\ 0 &0 & 0& -1 &0&2+\epsilon&0& -1\\ -1 &0 & 0&0 & -1&0&2+\epsilon&0\\ 0 &-1 & 0&0 &0& -1&0&2+\epsilon\\ \end{array}\right) \end{equation}$$ para una arbitraria separación entre las bandas. Se considera aquí el $\epsilon>0$. La matriz sería singular para $\epsilon\to 0$ (como la suma de los elementos de cada fila se convierte en cero). Es posible determinar analíticamente $\mathbf A^{-1}(\epsilon)$? Si es así, ¿cómo?

Aquí es lo que he estado tratando hasta ahora. Yo descompuesto $\mathbf A$ en dos (superior $\mathbf A_U$ e inferior $\mathbf A_L$) matrices triangulares que son tanto invertible si uno divide la diagonal principal simétrica de dos contribitions con un resultado positivo de las entradas. Luego traté de utilizar algunos de los resultados que lidiar con la inversa de la de $(\mathbf A_U+\mathbf A_L)^{-1}$. Por otra parte, traté de reducir la inversa de esta cantidad en el formulario de $(\mathbf B+\mathbb I)^{-1}$ para una matriz de $||\mathbf B||\ll1$ con el fin de ampliar la inversa de la última suma en serie y, al menos, la obtención de un perurbative expresión de la inversa.

Answer 1

Wolfram Alpha tiene para usted.

Para averiguar cómo llegar, esto puede ser útil:

• Parece que los autovalores son $\epsilon$, $\epsilon+2$, e $\epsilon+4$.
• Los correspondientes vectores propios son estructurado muy bien: $(0,1,0,1,0,1,0,1)$ e $(1,0,1,0,1,0,1,0)$ pertenecen al autovalor $\epsilon$, $(-1,0,0,0,1,0,0,0)$ y su cíclicamente desplazado copias dar autovalor $\epsilon+2$ e $(0,-1,0,1,0,-1,0,1)$ así como $(1,0,-1,0,1,0,-1,0)$ dar autovalor $\epsilon+4$.

Basado en esto, se pueden encontrar un total de diagonalización en autovectores y autovalores y una vez que tienes eso, debería ser fácil para invertirlo.

Se puede tomar desde aquí?