Ergodicidad única y primer tiempo de retorno

Question

Intento resolver el siguiente problema:

Sea $T\colon X\to X$ sea un mapa continuo sobre un espacio métrico compacto $X$ , únicamente ergódica. Sea $Y\neq \emptyset$ sea un conjunto abierto. Demuéstrese que $t(x) = \min\left\{n\ge 1 : T^n x\in Y\right\}$ está bien definida y acotada.

Pude probarlo suponiendo que la medida tiene pleno apoyo:

Gracias a la ergodicidad única, para cada mapa continuo $f$ , $\frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x) \to c=\int_X f$ uniformemente. Si $t$ no está acotado, entonces para cada $n$ Puedo encontrar un $x_n$ tal que $\frac 1 n \sum_{k\le n-1} f(T^k x) = 0$ y $c=0$ . En particular, si tomo $f\ge0$ sea 1 en un conjunto abierto dentro de $Y$ y $0$ fuera de $Y$ ¡entonces tengo una contradicción suponiendo que la medida tiene pleno apoyo!

¿Tengo que asumirlo? ¿O hay otra manera? Tomando tal $f$ era una pista dada en el ejercicio, pero por ejemplo si $\mu(Y) =0$ No sé qué hacer. De hecho no conozco ningún ejemplo donde haya ergodicidad única y donde algunos conjuntos abiertos tengan medida 0, también estoy interesado en tales ejemplos.

Gracias por su ayuda

Answer 1

He aquí un contraejemplo de lo que intentas demostrar. Como se desprende de tu pregunta, se trata de un ejemplo muy sencillo en el que se mantiene la ergodicidad única y, sin embargo, algún conjunto abierto no vacío tiene medida cero.

Toma $X = \mathbb R \cup \{P\}$ para ser la compactificación de un punto de la recta real $\mathbb R$ . Defina $f : X \to X$ mediante la fórmula $$f(x) = \begin{cases} P & \quad\text{if $x=P$} \\ x+1 & \quad\text{if $x \in \mathbb R$} \end{cases} $$ La única medida de probabilidad invariante para este ejemplo es la medida de Dirac sobre el punto $P$ Así que $f$ es únicamente ergódica, pero $\mathbb R = X - \{P\}$ es un subconjunto abierto invariante no vacío.

Ahora defina $Y = (-1,\infty) \subset \mathbb R$ que es un subconjunto abierto de $X$ . Tenga en cuenta que $t(P) = +\infty$ y tal vez sea esto lo que usted quiere decir con que $t(P)$ no está "bien definido". Y nótese también que mientras $t(x)$ está bien definida para $x \in \mathbb R$ y mientras $t(x)=0$ para $x > -1$ por otro lado, para cualquier número natural $n$ cualquier valor de $x \in (-\infty,-n]$ satisface $t(x) \ge n$ y así $t(x)$ no tiene límite superior.

Mi conjetura en cuanto a lo que está pasando aquí es que usted necesita simplemente añadir algún tipo de hipótesis topológica a su problema, por ejemplo que $f$ es topológicamente mínimo, lo que significa que no existe ningún subconjunto cerrado invariante propio.