Si$Y\subset X$ son espacios de Banach tales que$Y$ es denso en$X$, ¿es cierto que$X'$ es denso en$Y'$?

Question

Si $Y$ es un subespacio denso de un espacio de Banach $(X,\|\cdot\|_1)$ e $(Y,\|\cdot\|_2)$ es un espacio de Banach tal que la inclusión de $(Y,\|\cdot\|_2)$ a $(X,\|\cdot\|_1)$ es continua, entonces es bien definido, lineal inyectiva y continua en la doble norma de la topología del mapa: $$j:X'\to Y', f\mapsto f|_{Y},$$ donde $X'$ es el dual topológico de $(X,\|\cdot\|_1)$ e $Y'$ es el dual topológico de $(Y,\|\cdot\|_2)$.

Así, podemos identificar a $X'$ como un subconjunto de a$Y'$.

Es cierto que $X'$ es denso en $Y'$ en la norma de la topología? Si no, es cierto que $X'$ es denso en $Y'$ al menos en la débil* topología?

Edit: en esta pregunta se abordó el caso de que $(Y,\|\cdot\|_2)$ es reflexiva, obteniendo que en este caso (gracias a Hahn-Banach teorema) $X'$ es denso en la norma de la topología de $Y'$. En la respuesta a esta pregunta se muestra que contraejemplos a la densidad de la norma de la topología de existir si la reflexividad de $(Y,\|\cdot\|_2)$ no se asume, por ejemplo, mediante la toma de $(X,\|\cdot\|_1):=(l^2,\|\cdot\|_{l^2})$ e $(Y,\|\cdot\|_1):=(l^1,\|\cdot\|_{l^1})$. Sin embargo, en este contraejemplo $X'$ es todavía densa en la débil* topología de $Y'$.

Así, queda por responder únicamente a la siguiente parte de la pregunta original:

Es cierto que $X'$ es denso en $Y'$ en la débil* topología?

Answer 1

Con este $G$ es denso en $X^*$ en débil* sentido si y sólo si $G$ total conjunto de hecho, la prueba es bastante fácil.

Permítanme indicar la incorporación de la $Y$ a $X$ por $i$. A continuación, $i(Y)$ es denso en $X$. Y la pregunta es, si $i^*(X')$ es de débiles estrellas densas en $Y'$.

Debido al resultado anterior, tenemos esta densidad si y sólo si para todos los $y\in Y$ $$ (i^*f)(y) =0 \quad \forall f\X' \Rightarrow y=0. $$ Ahora vamos a $y\in Y$ recibir tal que $(i^*f)(y)=f(iy)=0$ para todos los $f\in X$. Esto implica $iy=0$, y por la inyectividad de $i$, $y=0$. Por lo $i^*X'$ es total y, por tanto, densa en $Y'$.

Answer 2

Ejemplo. Al enviar cada secuencia a sí misma, obtenemos $$ l ^ 1 \ longrightarrow c_0 $$ inyectivo con rango denso. Tomando el adjunto, obtenemos $$ inyec- tivo, pero no denso, de inyección de l ^ \ infty \ longleftarrow l ^ 1 $$ .

El rango denso de una transformación lineal limitada implica por sí mismo que el adjunto es inyectivo.