Mostrar que los valores propios son simétricos con respecto al origen.

Question

Las matrices que estoy considerando son

$$M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & -A^\top \end{bmatrix},$$

con $A,B,C\in\mathbb{C}^{n\times n}$, $C = C^\top$ e $B = B^\top$. Me di cuenta de cálculos numéricos que los autovalores son simétricas con respecto al origen, es decir, si $\lambda$ es un autovalor de a$M$ entonces $-\lambda$ es así.

No he sido capaz de muestra que este tiene que ser el caso. Inicialmente traté de ver si podía venir para arriba con una similitud de transformación que haría bloque diagonal, con un bloque de la negativa de los otros, pero sin éxito. A continuación he intentado utilizar algunos trucos para manipular el determinante, es decir, yo mostró que

$$\begin{align} \det(M - \lambda\,I) &= \det(B) \det((-A^\top - \lambda\,I) B^{-1} (A - \lambda\,I) - C) \\ &= \det(C) \det((A - \lambda\,I) C^{-1} (-A^\top - \lambda\,I) - B) \\ \end{align}$$

asumiendo que el $\det(B)\neq0$ o $\det(C)\neq0$. Sin embargo, esto no parece que me acercaron a mostrar que todos los autovalores son reflejados alrededor del eje imaginario.

Answer 1

La definición de $M$ es la misma que la de un Hamiltoniano de la matriz. Con el fin de mostrar que si $\lambda$ es un autovalor, a continuación, $-\lambda$ es un autovalor así, la siguiente identidad puede ser utilizado

$$\det(M - \lambda\,I) = \det(M^\top - \lambda\,I)$$

La definición de una nueva matriz como

$$J = \begin{bmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{bmatrix},$$

donde se puede notar que la $\det(J)=-1$ e $J^{-1} = J^\top = -J$. El uso de esta matriz se puede demostrar que $J\,M^\top J = M$, es decir,

$$\begin{align} J\,M^\top J &= \begin{bmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ C & -A^\top \end{bmatrix}^\la parte superior \begin{bmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^\top & C \\ B & -A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C & -A^\top \\ -A & -B \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A & B \\ C & -A^\top \end{bmatrix} \end{align}$$

La incorporación de $J$ en el determinante de las anteriores lo que permite su uso para mostrar

$$\begin{align} \det\left(J(M^\top - \lambda\,I)J\right) &= \det(J)^2\det\left(M^\top - \lambda\,I\right) = \det\left(M^\top - \lambda\,I\right) \\ &= \det\left(J\,M^\top J - \lambda\,J^2\right) \\ &= \det\left(M + \lambda\,I\right) \end{align}$$

Por lo tanto, $\det\left(M - \lambda\,I\right) = \det\left(M + \lambda\,I\right)$. Así que si $\lambda$ es un autovalor $\det\left(M - \lambda\,I\right)$ es cero, pero, a continuación, $\det\left(M + \lambda\,I\right)$ sería igual a cero como bien y lo $-\lambda$ tiene que ser un autovalor así.