Contraejemplo al segundo teorema de Lie para SO (3)

Question

La mentira del segundo teorema dice que si $G$ es simplemente conectado Mentira grupo, entonces cada isomorfismo $\Phi$ de su Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ ascensores para un isomorfismo $\phi$ de $G$, es decir, que los $d\phi_e = \Phi$ donde identificamos $\mathfrak{g}$ con $T_e G$, el espacio de la tangente a $G$ a la identidad.

Ahora consideremos $G = \mathrm{SO}(3)$, que no es simplemente conexa. Hay una explícita contraejemplo a la Mentira del segundo teorema en este caso? Es decir, podemos escribir una Mentira álgebra isomorfismo $\Phi$ de $\mathfrak{so}(3)$ que no es el diferencial de cualquier isomorfismo $\phi$ de $\mathrm{SO}(3)$?

Me siento como si $(\eta_1, \eta_2, \eta_3)$ es la forma habitual de $\mathfrak{so}(3)$, donde $[\eta_i, \eta_j] = \eta_k$ cíclicamente, a continuación, un mapa como $\Phi(\eta_1)=\eta_2$, $\Phi(\eta_2)=\eta_1$, $\Phi(\eta_3)=-\eta_3$ debería funcionar, pero no puedo averiguar cómo probar que no existe tal grupo de isomorfismo $\phi$. He estado tratando de encontrar a $t_1, t_2, t_3 \in \mathbb{R}$ y una relación que involucra $(e^{t_1 \eta_1}, e^{t_2 \eta_2}, e^{t_3 \eta_3})$ que no está satisfecho por $(e^{t_1 \eta_2}, e^{t_2 \eta_1}, e^{-t_3 \eta_3})$ pero no puedo llegar a uno.

Answer 1

Hay un isomorfismo $r: \text{Aut}(SU(2)) \to \text{Aut}(SO(3))$, debido a que cualquier automorphism de $SU(2)$ necesariamente conserva el centro y $SO(3) = SU(2)/Z(SU(2))$. A ver que $r$ es inyectiva, se observa que la si $r(\rho) = \text{Id}$, entonces necesariamente $\rho(g) = \pm g$ por cada $g$. Por la continuidad, la señal es independiente de $g$, y debido a $\rho$ es un homomorphism, el signo es 1, como se desee.

A ver que $r$ es surjective, se observa que tomando la derivada en la identidad da una incrustación $\text{Aut}(G) \hookrightarrow \text{Aut}(\mathfrak g)$. Por la Mentira del teorema, el mapa de $\text{Aut}(SU(2)) \to \text{Aut}(\mathfrak{su}(2))$ es un isomorfismo, y en particular, se han incluido en este isomorfismo como la composición de dos inyectiva mapas. Ambos mapas deben por lo tanto ser isomorphisms.

De hecho, $$\text{Aut}(SU(2)) = \text{Inn}(SU(2)) \cong \text{Inn}(SO(3)) = SO(3).$$

José de la respuesta da un ejemplo de un mapa de álgebras de Lie, que no puede ser elevado a un mapa de la Mentira grupos, pero aquí vemos que si usted está buscando para encontrar un automorphism de $\mathfrak{so}(3)$ que no se levante a una automorphism de $SO(3)$, usted está fuera de suerte. Vas a tener que probar algo más complicado.

Answer 2

Como se discute en los comentarios de Mike respuesta, si $G$ es un clásico de grupo distintos de los de $SO(8)$, entonces la Mentira del segundo teorema sostiene. Para $G = SU(n)$ o $Sp(n)$, se mantiene porque simplemente están conectados. Para $SO(2n+1)$ no hay exterior automorfismos (debido a que el diagrama de Dynkin no tiene no trivial simetrías). Para $SO(2n)$ con $n\geq 5$, no hay un único interesante de la simetría del diagrama de Dynkin, pero viene de un mapa en $SO(2n)$ dado por la conjugación por $\operatorname{diag}(-1,1,1....,1)$.

El grupo $SO(8)$ es especial porque su diagrama de Dynkin tiene más de simetría de cada una de las otras simple Mentira de grupo: el diagrama de Dynkin para $D_4$ tiene una orden de $3$ simetría rotacional.

Como cada automorphism del diagrama de Dynkin se extiende a un automorphism de la Mentira de álgebra, hay un especial de automorphism $t:\mathfrak{so}(8)\rightarrow \mathfrak{so}(8)$ conocida como la trialidad automorphism.

Me dicen que no hay automorphism $T:SO(8)\rightarrow SO(8)$ que induce $t$, es decir, de la Mentira del segundo teorema de falla para este mapa.

Voy a escribir una hoja de ruta de abajo; las pruebas se pueden encontrar en este papel por Varadarajan. Los enlaces .pdf no tiene "Proposiciones", así que a continuación, voy a escribir, por ejemplo, la Proposición 1 (Teorema 3) para indicar que mi Proposición 1 es el Teorema 3 en el documento.

La proposición 1 (Teorema 3 y Lema 4): Hay exactamente dos clases conjugacy $\Sigma_1, \Sigma_2$ de $Spin(7)\subseteq SO(8)$. Esta es precisamente una clase conjugacy $\Sigma_0$ de $SO(7)\subseteq SO(8)$. $\square$

Ahora, vamos a $\widetilde{T}:Spin(8)\rightarrow Spin(8)$ inducir $t$. (El mapa de $\widetilde{T}$ existe por la Mentira del segundo teorema.) Desde $t^3$ es la identidad (hasta conjugacy), por lo que es $\widetilde{T}^3$.

Proposición 2 (Teorema 5): de Los ascensores de cada una de las $\Sigma_i$ a $Spin(8)$ formulario de tres distintas clases conjugacy $\widetilde{\Sigma_i}$ en $Spin(8)$. Además, $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{Id_{Spin(8)}, \widetilde{T}, \widetilde{T}^2\}$ actúa transitivamente sobre $\{\widetilde{\Sigma_i}\}$. $\square$

Con estos en la mano, es fácil demostrar la afirmación anterior, que no es $T:SO(8)\rightarrow SO(8)$ la inducción de la $t$. Es decir, puesto que los poderes de $\widetilde{T}$ ley de transitivamente en $\{\widetilde{\Sigma_i}\}$, los poderes de $T$ debe actuar de manera transitiva en a$\{\Sigma_i\}$. Sin embargo, los elementos de $\Sigma_1$ son isomorfos a $Spin(7)$, por lo que simplemente están conectados, mientras que los elementos de $\Sigma_0$ son isomorfos a $SO(7)$, por lo que no son. Por lo tanto, no hay diffeomorphism (o incluso homotopy equivalencia!) que puede moverse $\Sigma_0$ a $\Sigma_1$, incluso si se elimina la restricción de que los mapas se homomorphisms.

Answer 3

Ver $SU(2)$ como el grupo de quaterninons con la norma $1$. Vamos$$\operatorname{Im}\mathbb{H}=\{ai+bj+ck\in\mathbb{H}\,|\,a,b,c\in\mathbb{R}\}$$and, for each $q\en SU(2)$, let $\varphi(q)\colon\operatorname{Im}\mathbb{H}\longrightarrow\operatorname{Im}\mathbb{H}$ be the map defined by $\varphi(q)(v)=q^{-1}vq$. Then $\operatorname{Im}\mathbb{H}\simeq\mathbb{R}^3$ and $\varphi$ is a surjective group homomorphism from $SU(2)$ onto $SO(3,\mathbb{R})$, whose kernel is $\pm1$. Then $D\varphi_1\colon\mathfrak{su}(2)\longrightarrow\mathfrak{so}(3,\mathbb{R})$ is a Lie algebra isomorphism and its inverse is a representation of $\mathfrak{so}(3,\mathbb{R})$ in $\mathbb{C}^2$. But you cannot lift it to $SO(3,\mathbb{R})$, since $SU(2)$ and $SO(3,\mathbb{R})$ no son isomorfos.