Ejemplo de una función continua que no es medible por Lebesgue

Question

Dejemos que $\mathcal{L}$ denotan el $\sigma$ -de conjuntos medibles de Lebesgue en $\mathbb{R}$ . Entonces, si la memoria no me falla, hay un ejemplo (y por supuesto, si hay uno, hay muchos) de una función continua $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es decir no medible en el sentido de que $f:(\mathbb{R},\mathcal{L})\rightarrow (\mathbb{R},\mathcal{L})$ es medible, pero desgraciadamente no he podido recordar el ejemplo. ¿Podría alguien iluminarme?

Obsérvese que esto no está en contradicción con el habitual "Toda función continua es medible", porque en esta afirmación está implícito que el codominio está dotado de la Borel conjuntos, no el Medible de Lebesgue conjuntos.

Answer 1

El ejemplo estándar viene dado por la función $g(x)=f(x)+x$ , donde $f$ es la función de escalera del diablo de Cantor. Resulta que la función $g$ es un homeomorfismo de $[0,1]$ en $[0,2]$ y tiene la propiedad de que $\mu(g(C))=1$ (donde $C$ es el conjunto de Cantor). Escoge un conjunto no medible $A\subset g(C)$ . Primero hay que tener en cuenta que $B=g^{-1}(A)$ es medible ya que $B\subset C$ . De ello se desprende que $g^{-1}$ es continua, $B$ es medible por Lebesgue pero $(g^{-1})^{-1}(B)$ no es medible.

Answer 2

En realidad una función medible es una función que devuelve los conjuntos medibles a conjuntos medibles y una función continua es una función que devuelve los conjuntos abiertos a conjuntos abiertos.Como sabemos que los conjuntos abiertos son medibles.Por tanto una función continua devuelve los conjuntos medibles a conjuntos medibles.Por tanto las funciones continuas son medibles.