¿Por qué el Lema de Zorn no produce un grupo más grande?

Question

El Lema de Zorn se indica que si todos los de la cadena de $\mathcal{C}$ en un conjunto parcialmente ordenado $\mathcal{S}$ tiene un límite superior en $\mathcal{S}$, entonces existe al menos un elemento maximal en $\mathcal{S}$.

¿Por qué no podemos aplicar el Lema de Zorn en el siguiente caso?

Deje $\mathcal{S}$ ser el conjunto de todos los grupos. Definir un orden parcial $\preceq$ como sigue: $H, G \in \mathcal{S}$, definir $H \prec G$ si y sólo si $H$ es un subgrupo de $G$. A continuación, cada cadena de $\mathcal{C}=(G_{\alpha})_{\alpha \in A}$ en $\mathcal{S}$ tiene un límite superior $\cup_{\alpha \in A} G_{\alpha}$ en $\mathcal{S}$. Pero, ciertamente, no hay ningún elemento maximal en $\mathcal{S}$.

Podría alguien decirme qué está mal con este argumento?

Answer 1

No hay ningún conjunto de todos los grupos, pero el Lema de Zorn se pueden formular para parcialmente ordenado de las clases, pero debemos exigir que toda cadena tiene una cota superior, también la clase adecuada de las cadenas. Sin embargo, en ese caso es fácil definir una clase adecuada de la cadena que no tiene límite superior.

Simplemente tome para cada ordinal $\alpha$ el grupo libre generado por $\alpha$. Hay natural de las inyecciones se administran por la natural inyecciones entre dos números ordinales. Sin embargo, esta cadena no tiene un límite superior, ya que un límite superior sería un grupo, que es un conjunto, que integra todos los ordinales. Esta es una contradicción a Hartogs teorema, por supuesto.

(Usted puede pensar acerca de esto en el siguiente analógica: una cadena infinita de conjuntos finitos, o grupos finitos, no tiene un límite superior que es también finito.)

Answer 2

Porque no existe tal cosa como "el conjunto de todos los grupos".