La regla de Cramer: Interpretación geométrica

Question

Tengo una pregunta sobre la regla de Cramer:

Dejemos que $A$ sea una matriz y $A \cdot \vec x = \vec b$ una ecuación lineal. $A_i$ es la matriz $A$ donde la columna i's se sustituye por $\vec b$

• si $det(A) \neq 0$ entonces tenemos una solución única
• si $det(A)=0$ y al menos una $det(A_i) \neq 0$ no tenemos solución
• si $det(A)=0$ y todos $det(A_i)=0$ tenemos infinitas soluciones [¡falso!]

Busco una interpretación geométrica de la regla. Sé que $det(A)=$ área del paralelepípedo, pero no soy capaz de hacer un dibujo para la regla de Cramer.

¿Alguien puede ayudarme?

Muchas gracias de antemano,

Answer 1

Una forma de ver la regla de Cramer es que simplemente hace uso de una forma (muy ineficiente) de calcular $A^{-1}$ En concreto \begin {equation}A^{-1}= \frac {1}{ \text {det}(A)} \text {Adj}(A), \end {ecuación} donde Adj( $A$ ) se conoce hoy en día como el adjunto de $A$ (transposición de la matriz de cofactores de $A$ ). Si se sustituye esta ecuación por $X=A^{-1}B$ se obtiene básicamente la regla de Cramer, ya que para cada componente $x_i$ de $X$ se obtiene la expansión de Laplace por la i-ésima columna de $1/$ det $(A)\cdot$ det $(A_{C_i\leftrightarrow B})$ (puede comprobarlo...).

Así que para interpretar esto geométricamente depende de hasta dónde quieras llegar. Si sólo lo ves como una forma de calcular $A^{-1}B$ entonces significa simplemente que un vector $X$ que se transforma en $A$ para dar el vector $B$ Si esta transformación es invertible, se puede calcular $X$ aplicando la transformación inversa a $B$ . Si ahora quieres ir más allá tienes que intentar explicar geométricamente por qué \begin {equation}A^{-1}= \frac {1}{ \text {det}(A)} \text {Adj}(A). \end {ecuación} Así que en términos de una interpretación geométrica, sabemos $A$ es una transformación, y det( $A$ ) es el área del paralelogramo formado por los vectores componentes en $A$ . Así que lo que puede ser interesante es explorar el papel del adjunto y cómo determina las fórmulas de det $(A)$ ...si quieres... te lo dejo - en 2D es sencillo, ya que los cofactores de cada entrada es sólo una entrada más (con un cambio de signo donde sea necesario).