Prueba de que la suma del lado par y la hipotenusa de un coprime (y positivo) pitagórico triple es un número cuadrado

Question

Deseo probar que para cualquier coprime (y positivo) triple pitagórico$(x,y,z)$, donde$x$ es par,$x+z$ siempre es un número cuadrado.

Por inspección, esto parece cierto; $(3,4,5)$ da$9$,$(5,12,13)$ da$25$,$(8,15,17)$ da$25$,$(7,24,25)$ da$49$ etcétera . Sin embargo, estoy atascado en la prueba.

No conozco la fuente original del problema.

Answer 1

Por cada triple pitagórico$(x,y,z)$, con$d=\gcd(x,y,z)$;
hay enteros coprime$a,b$ con diferente paridad, de manera que:
PS

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Ahora note que la condición de coprime implica$$x=d(a^2-b^2) \ \text{and} \ y=d(2ab) \ \text{and} \ z=d(a^2+b^2); $; Así que tenemos lo siguiente:

PS

Answer 2

Tenga en cuenta que $(m^2+n^2)^2=(2mn)^2+(m^2-n^2)$. Como$2mn$ siempre es par, tenemos$m^2+n^2+2mn=(m+n)^2$.

Como señaló @shuri, en$(3,4,5)$,$4+5=9$, que es un cuadrado perfecto. Pero cuando no incluye su condición de coprime, podemos multiplicar todos los elementos del triplete por un número par, digamos$2,4$, etc. para obtener$(x,y,z)$ de la misma paridad y luego un par nos da un cuadrado perfecto$m^2+n^2+2mn$ mientras que el otro nos da el doble de un cuadrado perfecto$(2m^2)$.