¿Cómo son las cardinalidades no estándar?

Question

El Von Neumann universo $V$ satisface ZFC, y hay otros modelos dentro de $V$ que no son estándar y satisfacer ZFC. Si nos fijamos en uno de estos modelos estándar $M$, con un no-modelo estándar de PA $P$, luego internamente a $M$ tenemos una noción de los "números" en $P$.

Considere la posibilidad de un no-estándar de número de $H$$P$. Quiero entender lo que es un conjunto $A$ (en el no-estándar del modelo de ZFC $M$) de cardinalidad $H$ parece. ¿Qué tal un conjunto externo (es decir, w.r.t. $V$) cardinalidad? ¿Qué acerca de un conjunto $B$ de cardinalidad $H+1$? Parece que usted puede simplemente tomar la unión de $A$ con algún elemento de $P$ no $A$ para obtener un conjunto de cardinalidad $H+1$.

Estoy viendo un par de maneras de resolver esto:

1. Conjuntos de no estándar cardinalidades no existen dentro de $M$.

2. $A$ $B$ existen en $M$; tienen diferentes cardinalidades dentro de $M$. Sin embargo, con respecto a $V$, ambos son infinitos y de la misma cardinalidad. La única razón por la que tienen diferentes cardinalidades en $M$ es que el bijection entre el $A$ $B$ no está dentro de $M$.

3. $A$ $B$ son infinitas y tienen diferentes externo cardinalidades, pero usted no puede tomar la unión de $A$ y algún elemento de $P$ para obtener algo de cardinalidad $H+1$, por alguna razón.

4. $A$ $B$ son infinitas y tienen diferentes externo cardinalidades, pero teniendo la unión de $A$ y algún elemento de $P$ es de alguna manera externamente no sólo añadir una cosa a $A$, pero los suficientes como para que las cosas cambien su cardinalidad.

Que de estos, si, es la respuesta correcta?

Answer 1

La opción 2 es correcta: $M$ no ve la bijection que existe externamente (= en $V$).

Específicamente, vamos a tomar las $P$ $M$'s versión real de $\mathbb{N}$ (creo que esto es lo que tenía en mente de todos modos) y hacer que nuestro $A$ $B$ muy simple: vamos a $a$ ser algunos no estándar del número natural en $M$, y establecer$A=\{n\in\mathbb{N}^M: M\models n<a\}$$B=\{n\in\mathbb{N}^M: M\models n\le a\}=A\cup\{a\}$. Entonces:

• En $M$ ambos $A$ $B$ son finitos y $A\subsetneq B$; por tanto, en $M$ no hay bijection entre el$A$$B$.

• En $V$ ambos $A$ $B$ son infinitas, y $B$ $A$ más uno de los elementos, por lo que hay un bijection $f:A\rightarrow B$ en el verdadero modelo de $V$.

Otro ejemplo de este fenómeno, que no impliquen la aritmética, es la siguiente: supongamos $M$ es una contables transitiva submodel de $V$ (ok fino, necesitamos un débil hipótesis para garantizar un $M$ existe, pero ignoran que, por ahora). A continuación, $\omega_1^M$ es un ordinal que en $V$ es contable; la razón por la $M$ no ve un bijection entre el $\omega_1^M$ $\omega^M$ (ejercicio: $\omega^M=\omega$, ya que el $M$ es transitiva y, por tanto, bien fundada) es porque el countability de $\omega_1^M$ sólo se ve fuera de $M$.

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Dicho sea de paso, el siguiente es un gran ejercicio para familiarizarse con la interna y externa del razonamiento.

Supongamos que $M$ es una contables primaria (no transitiva) submodel de $V$. Demostrar que (i)$\omega_1^M=\omega_1$$\omega^M=\omega$, (ii) $Ord^M$ no está cerrado a la baja en $V$ (y por lo tanto podemos concluir que no existen contables primaria transitiva submodelos de $V$), pero (iii) $\omega_1\cap M$ se cierra a la baja.

La parte (i) es inmediato a partir de elementarity y en la parte (ii) se sigue de la parte (i); parte iii), sin embargo, toma un poco de pensamiento.

Esto no es un ejercicio acerca de los modelos no estándar, por supuesto - todo lo que estamos hablando es de bien fundada -, pero es todo acerca de ser cuidadoso acerca de qué modelo cree en lo instrucción.